Question

[Nguyễn Trung Quân]

Tư một điểm M nam ngoài đtròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MP và MQ vs đtròn (P và Q là 2 tiếp điểm ) và 1 cát tuyến MAB (A nàm giữa M và B) . Gọi I là trung điểm của AB

a, Cm 5 điểm M,P,O,I,Q cùng thuộc 1 đtròn

b, PQ cát AB tại E . Cm MP² =ME.MI

c, quan A kẻ đường thảng song song vs MP cát PQ ,PB lần lượt tại H,K . Cm KB=2.HI

Answer 1

[Mysterious Person]

ta có : MP = MQ (tính chất tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) MPQ là \(\Delta\) cân \(\Rightarrow\) MPQ = MQP

mà MQP = MIP (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MP)

\(\Rightarrow\) MPQ = MIP \(\Leftrightarrow\) MPE = MIP

xét \(\Delta\) MPE và \(\Delta\) MIP ta có :

góc M chung

MPE = MIP (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) MPE đồng dạng \(\Delta\) MIP (góc-góc)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{MP}{MI}\) = \(\dfrac{ME}{MP}\) \(\Leftrightarrow\) MP² = ME.MI (đpcm)

Answer 2

[Mysterious Person]

xét tứ giác MPOQ ta có : MPO = 90 (MP là tiếp tuyến (o))

MQO = 90 (MQ là tiếp tuyến (o))

\(\Rightarrow\) MPO + MQO = 180

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

\(\Rightarrow\) tứ giác MPOQ nội tiếp

xét tứ giác MPIO ta có : MPO = 90 (MP là tiếp tuyến (o))

I là trung điểm của AB \(\Rightarrow\) MIO = 90 (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

mà 2 góc này cùng nhìn xuồng MO \(\Rightarrow\) tứ giác MPIO nội tiếp

ta có 2 tứ giác nội tiếp MPOQ và MPIO cùng có 3 điểm chung M,P,O và các góc vuông đều nhìn xuống OM

\(\Rightarrow\) 5 điểm M,P,O,I,Q cùng thuộc 1 đường tròn đường kính MO ( đpcm)