Giúp tôi giải toán và làm văn

Ta có: \(2^6< 2^6+2^x+2^{3y}=A^2< 10000\)

=> \(8^2< 2^6+2^x+2^{3y}=A^2< 100^2\)

Vì A thuộc N.

Xét trường hợp: \(2^6+2^x+2^{3y}=9^2\)

=> \(2^x+2^{3y}=17\)là số lẻ

Do x, y thuộc N nên xảy  ra hai trường hợp hoặc là x=0, hoặc là y=0

+) Với x=0

ta có: \(1+2^{3y}=17\Leftrightarrow2^{3y}=16=2^4\Leftrightarrow3y=4\Leftrightarrow y=\frac{4}{3}\)( loại vì y là số tự nhiên)

+) Với y=0

ta có: \(2^x+1=17\Leftrightarrow2^x=16=2^4\Leftrightarrow x=4\)(tm)

Khi đó x+y=4

Mà đề bài bảo tìm giá trị nhỏ nhất của x+y, x, y thuộc N

Xét các trường hợp : 

+) y=0, x<4 loại

+) y=1, x<3 loại

+) y=2, x=0 => \(2^6+2^0+2^6=129\)( loại vì ko p là số chính phương)

 +) y=2, x=1 => \(2^6+2+2^6=130\)(loại)

 +) y=3, x=0 => \(2^6+2^0+2^9=577\) ( loại)

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là x+y=4

câu hỏi hay chắc cần dùng đến IQ😀

Ta có

 \(VT=a^3\left(b-c\right)+\left(b^3c-bc^3\right)-a\left(b^3-c^3\right)\)

        \(=\left(b-c\right)\left(a^3+bc\left(b+c\right)-a\left(b^2+bc+c^2\right)\right)\)

        \(=\left(b-c\right)\left[\left(a^3-ab^2\right)+\left(b^2c-abc\right)+\left(bc^2-ac^2\right)\right]\)

        \(=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left[a\left(a+b\right)-bc-c^2\right]\)

       \(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)\)

TH1   Nếu a,b,c chia 3 dư 0,1,2 =>\(a+b+c⋮3\)

TH2   Trừ TH trên 

Theo nguyên lí diricle luôn có 2 trong 3 số trên chia 3 cùng 1 số dư

Hay a-b hoặc b-c hoặc a-c chia hết cho 3

Từ 2 trường hợp 

=> \(VT⋮3\)

Mà VP chia 3 dư 1 do 2020 chia 3 dư 1

=> không có giá trị nào của a,b,c nguyên thỏa mãn đề bài

Vậy không có gia trị nào của a,b,c nguyên thỏa mãn đề bài

mk ko biết

giai lai

\(506^{80}\equiv2^{80}\equiv0\left(\text{mod }4\right)\)

Đặt \(506^{80}=4k\left(k\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow3^{506^{80}}=3^{4k}\)

Ta có:

\(3^{4k}⋮3\left(k\inℕ^∗\right)\Rightarrow3^{4k}-6⋮3\)(1)

\(3^4\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow3^{4k}\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow3^{4k}-1-5⋮5\)

\(\Rightarrow3^{4k}-6⋮5\)(2)

Từ (1) và (2) => 3^4k chia hết cho 15 vì (3,5)=1

Vậy...

Sửa lại bài của bạn Boul (bài bạn ấy phần trên đúng phần dưới kết luận sai rồi)

Từ (1) và (2)  và (5, 3)=1

=> \(3^{4k}-6⋮15\)

=> \(3^{4k}\)chia 15 dư 6

hay \(3^{506^{80}}\)chia 15 dư 6

nhầm dòng gần cuối 3^4k-6 :(( 

a,Ý 1:\(14^{14^{14}}=7^{14^{14}}.2^{14^{14}}\)

Dễ chứng minh \(14^{14}⋮4\) và \(14^{14}\) chia 20 dư 16 nên đặt \(14^{14}=4k=20l+16\)

Ta có:\(14^{14^{14}}=7^{4k}.2^{20l+16}=\left(7^4\right)^k.\left(2^{20}\right)^l.2^{16}\)\(=2401^k.1048576^l.65536\)

\(\equiv\left(01\right)^k.\left(76\right)^l.36=01.76.36=2736\equiv36\)(mod 100)

Ý 2:Để ý:\(5^7\equiv5\)(mod 180).Từ đó chứng minh được :\(5^{121}=5^{98}.5^{23}\equiv25.5^5=1625\equiv5\)(mod 180)
Đặt:\(5^{121}=180m+5\).Khi đó:\(17^{5^{121}}=17^{180m+5}=\left(17^{180}\right)^m.17^5\equiv\left(01\right)^m.57=01.57=57\)(mod 100)
Có được :\(17^{180}\equiv01\)(mod 100) là do:\(17^3\equiv13\)(mod 100)  mà \(13^6\equiv9\) nên \(17^{18}\equiv13^6\equiv9\)(mod 100)
Lại có:\(9^{10}\equiv01\)(mod 100) \(\Rightarrow17^{180}\equiv9^{10}\equiv01\)(mod 100)

b,Ta có:\(2^{20}=16^5\equiv76\)(mod 100) nên \(2^{2000}=\left(2^{20}\right)^{100}\equiv76^{100}\equiv76\)(mod 100)
\(\Rightarrow2^{2006}=2^{2000}.2^6\equiv76.64=4864\equiv64\)(mod 100)
Đặt \(2^{2006}=100t+64\) ta được \(3^{2^{2006}}=3^{100t+64}=\left(3^{100}\right)^t.3^{64}\equiv\left(001\right)^t.3^{64}=3^{64}\)(mod 1000)
Lại có:\(3^{10}\equiv49\)(mod 1000)\(\Rightarrow3^{60}=\left(3^{10}\right)^6\equiv49^6\equiv201\)(mod 1000)
\(\Rightarrow3^{64}=3^{60}.81\equiv81.201=16281\equiv281\)( mod 1000)

\(14^{14^{14}}⋮4\)(3)

\(14^{14}\equiv1\left(mod5\right)\)

Đặt 14¹⁴=5k+1( vì 14^14 chẵn nên k lẻ)

Khi đó \(14^{14^{14}}=14^{5k+1}\)

\(14^5\equiv-1\left(mod25\right)\Leftrightarrow\left(14^5\right)^k.14\equiv-14\left(mod25\right)\text{vì }k\text{ lẻ}\)

\(\Leftrightarrow14^{14^{14}}\text{chia 25 dư 11}\)=> hai CSTC của 14^14^14 chia 25 dư 11(1)

Mà \(14^{14^{14}}\text{có CSTC là 6 }\)⁽²⁾

ta thấy để tm 3 trường hợp trên chỉ có 36

Vậy..

p/s: cách này ko hay lắm :((((( 

Khi đó : 

Cho a,b,c > 0 ; a+b+c=1 

Tìm Min A = \(a^2+b^2+c^2-2\sqrt{3abc}\)

Áp dụng BĐT cauchy với a , b , c > 0 ta có : 

a + b + c \(\ge\)\(3\sqrt[3]{abc}\)

=> \(\left(a+b+c\right)^3\ge27abc\)

=> 1 \(\ge\)27abc

=> \(\frac{1}{9}\ge3abc\)

=> \(\frac{1}{3}\ge\sqrt{3abc}\) 

=> \(\frac{2}{3}\ge2\sqrt{3abc}\)

=> \(-2\sqrt{3abc}\ge\frac{-2}{3}\)(1)

Đặt a = x + 1/3 

b = y + 1/3 

c = z + 1/3 

=> x + y + z = 0 ( do a+b+c = 1)

=> \(a^2+b^2+c^2=\left(x+\frac{1}{3}\right)^2+\left(y+\frac{1}{3}\right)^2+\left(z+\frac{1}{3}\right)^2\)

= \(x^2+y^2+z^2+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\left(x+y+z\right)\)

=\(x^2+y^2+z^2+\frac{1}{3}\)\(\ge\frac{1}{3}\)(2)

Từ (1) ; (2) 

=> A \(\ge\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1/3 

Vậy ....

bài này \(+2\sqrt{3abc}\)cũng được min mà 

Mình dùng bất đẳng thức schur làm được 

Làm đi bạn rồi tôi sẽ chỉ ra cái sai của bạn 

Mà :)) ko hiểu thg ngu nào k sai nhanh thế nhỉ :)))) chỉ dc cái k sai là nhanh :))

12. Ta có \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)

=> \(a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\)

Lại có \(\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2\)

=> \(\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}.\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)\)

Khi đó 

\(P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Vậy \(MaxP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=1

Câu 13 (cách khác này): Áp dụng BĐT Cauchy-schwazt cho 3 số dương, ta có:

\(1\ge\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge6\)

Áp dụng bđt cô si cho 3 số dương, ta có: 

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}\)

Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge b-\frac{b+c}{3}\)   \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge c-\frac{c+a}{3}\)

Cộng lại \(\Rightarrow VT\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=\frac{a+b+c}{3}\ge2\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2

14.

Ta có \(x^3+y^3+z^3-3xyz=2\)

=> \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=2\)

Đặt \(x+y+z=a,x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=b\left(a,b\ge0\right)\)

=> \(\hept{\begin{cases}ab=2\\P=\frac{1}{2}a^2+4b\end{cases}}\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số ta có 

\(\frac{1}{2}a^2+2b+2b\ge3\sqrt[3]{2a^2b^2}=6\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}a^2=2b\\ab=2\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)thỏa mãn ĐK

Vậy MinP=6 khi a=2, b=1

Vì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 nên \(a\ne0\)

Theo hệ thức Vi-ét thì \(\hept{\begin{cases}m+n=-\frac{b}{a}\\mn=\frac{c}{a}\end{cases}}\)

Ta có \(Q=\frac{2a^2-ac-2ab+bc}{a^2-ab+ac}\)

              \(=\frac{\left(2a-c\right)\left(a-b\right)}{a\left(a-b+c\right)}\)

              \(=\frac{a-b}{a}.\frac{2a-c}{a-b+c}\)

             \(=\left(1-\frac{b}{a}\right).\frac{2-\frac{c}{a}}{1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}\)

            \(=\left(1+m+n\right).\frac{2-mn}{1+m+n+mn}\)

             \(\ge\left(1+m+n\right).\frac{2-\frac{\left(m+n\right)^2}{4}}{1+m+n+\frac{\left(m+n\right)^2}{4}}\left(Cauchy\right)\)

Đặt \(m+n=a\)
Vì \(0\le m;n\le1\Rightarrow0\le a\le2\)

Khi đó \(Q=\left(1+a\right).\frac{2-\frac{a^2}{4}}{1+a+\frac{a^2}{4}}\)

                \(=\left(1+a\right).\frac{8-a^2}{4+4a+a^2}\)

                \(\ge\left(1+a\right).\frac{8-2^2}{a^2+4a+4}\)(Do \(0\le a\le2\))

                \(=\frac{4\left(1+a\right)}{a^2+4a+4}=M\)

Ta đi chứng minh \(M\ge\frac{3}{4}\)

Thật vậy \(M\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4\left(1+a\right)}{a^2+4a+4}\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow16\left(1+a\right)\ge3\left(a^2+4a+4\right)\)

\(\Leftrightarrow16+16a\ge3a^2+12a+12\)

\(\Leftrightarrow4+4a-3a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2-a\right)\left(3a+2\right)\ge0\)Luôn đúng với mọi 0 < a < 2

Do đó \(Q\ge M\ge\frac{3}{4}\)

Dấu "='' <=> a = 2 tức là m + n = 2 

              \(\Leftrightarrow-\frac{b}{a}=2\)

            \(\Leftrightarrow b=-2a\)

17)Em sửa đề chút ạ, sai mong cô bỏ qua: CMR: \(a+2b+c\ge...\)

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(*)

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được: \(4\left(b+c\right)\left(1-c\right)\le\left(b+c+1-c\right)^2=\left(b+1\right)^2\)(1)

Từ a+b+c=1 \(\Rightarrow1-a=b+c\)Khi đó:

\(4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=4\left(b+c\right)\left(1-c\right)\left(1-b\right)\)

Kết hợp với (1) suy ra:

\(4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(b+1\right)^2\left(1-b\right)\)

\(\Rightarrow4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(1-b^2\right)\left(1+b\right)\le1.\left(1+b\right)\)

\(\Rightarrow4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1+b=a+b+c+b=a+2b+c\left(đpcm\right)\)

Bài 18, Đặt \(\left(a^2-bc;b^2-ca;c^2-ab\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) thì bđt trở thành

\(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge0\)

Vì \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)nên ta đi chứng minh \(x+y+z\ge0\)

Thật vậy \(x+y+z=a^2-bc+b^2-ca+c^2-ab\)

                                     \(=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)(đúng)

Tóm lại bđt được chứng minh

Dấu "=": tại a=b=c

Ta có: 
  \(n\left(5n-2\right)-5n\left(n+3\right)\)
\(=n\left(5n-2\right)-n\left(5n+3\right)\)|
 \(=n\left(5n-2-5n-3\right)=-5n\) ; Vì \(n\in Z\)
\(\Rightarrow-5n\in Z\Rightarrow -5n⋮-5\)
Vậy: .......
#HọcTốt!!

+)x=0=>y=0 

+)y=0=>x=0 

\(1000x^2+y=1001y^2+x\Leftrightarrow1001x^2+y=1001y^2+x^2+x\Leftrightarrow\left(1001x+1001y-1\right)\left(x+y\right)=x^2\left(1\right)\) 

\(1000x^2+y=1001y^2+x\Leftrightarrow\left(1000x+1000y-1\right)\left(x-y\right)=y^2\left(2\right)\) 

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(x-y\right)^2\left(1000x+1000y-1\right)\left(1001x+1001y-1\right)=x^2y^2\) 

Dat x+y=a (a thuoc N) 

\(\Rightarrow\left(1000a-1\right)\left(1001a-1\right)\text{la so chinh phuong}\) 

goi d=(1000a-1,1001a-1) 

=>\(a⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

=>1000a-1;1001a-1 deu la so chinh phuong 

1000a-1 chia 8 du 7=> khong la so chinh phuong (vo ly) 

Vay: x=0;y=0

Ta có \(x\left(1000x-1\right)=y\left(1001y-1\right)\left(1\right)\)

Giả sử d là ước chung lớn nhất của x và 1000x-1

=> \(\hept{\begin{cases}x⋮d\\1000x-1⋮d\end{cases}}\)=> \(1⋮d\)=> d=1

=> x và 1000x-1 là 2 số nguyên tố cùng nhau(*)

TT => y và 1001y-1 là 2 số nguyên tố cùng nhau (**)

Theo đề bài

\(\left(x-y\right)\left(1000\left(x+y\right)-1\right)=y^2\left(2\right)\)

+  x=0 => y=0

+  \(x,y\ne0\)

Từ (2) 

=> x>y(3)

Từ (1), (3) => x<1001y-1

Kết hợp với (*), (**) ta được \(x⋮y\)

Đặt \(x=ky\)( k là số nguyên dương)

=> \(1000k^2y^2+y=1001y^2+ky\)

=> \(1000k^2y+1=1001y+k\)

=> \(y=\frac{k-1}{1000k^2-1001}\)

Mà \(1000k^2-1000⋮k-1\)

=> không có giá trị nào của k để y nguyên 

Vậy x=y=0

Xin lỗi các em. Cô k sai. Bài của bạn Trần Phúc Khang chưa đúng:(

Kết hợp (**), (*) không thể suy ra đc: x chia hết cho y

7/  Em sửa lại đề ạ 

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab

Chứng minh rằng  \(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\ge\frac{1}{2}\)

Đổi biến \(\left(a,b\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y}\right)\)

Từ giả thiết => x+y=4

Ta có: BĐT cần CM tương đương với:

\(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{y^2}+1}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{4}{x^2}+1}\ge\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{y^2}{x\left(4+y^2\right)}+\frac{x^2}{y\left(4+x^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Schwarz, ta có:
∑\(\frac{x^2}{y\left(4+x^2\right)}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+xy^2+x^2y}=\frac{16}{16+xy^2+x^2y}\)

Ta chỉ cần chứng minh:

\(xy^2+x^2y\le16\Leftrightarrow xy^2+x^2y\le\frac{1}{4}\left(x+y\right)^3\)

\(\Leftrightarrow xy^2+x^2y\le x^3+y^3\)(luôn đúng)

Do đó (1) đúng. BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi x=y=2⇔a=b=\(\frac{1}{2}\)

8,Ta có:\(P=\frac{1}{5xy}+\frac{1}{x+2y+5}+\frac{1}{x+2y+5}+\frac{1}{x+2y+5}+\frac{1}{x+2y+5}+\frac{1}{x+2y+5}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+1+1+1+1\right)^2}{5xy+5\left(x+2y+5\right)}\)\(=\frac{36}{5xy+5x+10y+25}\)\(=\frac{36}{5y\left(x+1\right)+5x+5y+25}\)

Lại có:\(5y\left(x+1\right)\le5.\frac{\left(x+y+1\right)^2}{4}\le5.\frac{4^2}{4}=20\);\(5x+5y\le15\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{36}{20+15+25}=\frac{3}{5}\).Nên GTNN của P là \(\frac{3}{5}\) đạt được khi x=1;y=2

6. (chuyên Hòa Bình)

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy+zx+4yz=32

Tìm giá trị nhỏ nhất của\(P=x^2+16y^2+16z^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho  ba số dương  x,y,z ta có

\(\hept{\begin{cases}8y^2+\frac{1}{2}x^2\ge2\sqrt{8y^2.\frac{1}{2}x^2}=4xy\\8z^2+\frac{1}{2}x^2\ge2\sqrt{8z^2.\frac{1}{2}x^2}=4xz\\8y^2+8z^2\ge2\sqrt{8y^2.8z^2}=16yz\end{cases}}\)

Cộng từng vế của ba bđt trên ta có

\(P\ge4\left(xy+xz+4yz\right)=4.32=128\)

Không mất tính tổng quát giả sử: \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\) 

\(\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\)

\(\Leftrightarrow ab^2+a^2c+bc^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2\) (Vì\(a,b,c\ge0\) )

\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le b\left(a+c\right)^2=\frac{1}{2}.2b\left(a+c\right)\left(a+c\right)\le\frac{4\left(a+b+c\right)^3}{27}=4\)Vì a+b+c=3

Áp dụng bđt Cô si cho 2 số không âm, ta có:

\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\frac{a\left(b^2+2\right)}{2}=\frac{ab^2}{2}+a\)

Tương tự với 2 số còn lại rồi cọng lại, ta có;

\(P\le\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{2}+a+b+c\le\frac{4}{2}+3=5\)

Dấu bằng xảy ra khi a=0, b=1, c=2 và các hoán vị 

(Hơi lười ghi một chút thông cảm)

\(\sqrt{b^3+1}\ge1\left(b\ge0\right)\Leftrightarrow a\sqrt{b^3+1}\ge a\)

\(\rightarrow P\geΣa=3\)

= <=> a=b=0;c=3 và hoan vj

đây là min 

Min =3 á. Thế dấu "=" xảy ra khi  nào bạn?

\(0\le a\le\sqrt{2}\Rightarrow a\left(a-\sqrt{2}\right)\le0\Rightarrow a^2\le a\sqrt{2}\Rightarrow a^3\le a^2\sqrt{2}\)

Tương tự và cộng lại: \(a^3+b^3\le\sqrt{2}\left(a^2+b^2\right)=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow M\le\frac{2\sqrt{2}+4}{ab+1}\le\frac{2\sqrt{2}+4}{1}=2\sqrt{2}+4\) (do \(ab\ge0\Rightarrow ab+1\ge1\))

Dấu "=" khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\sqrt{2}\right);\left(\sqrt{2};0\right)\)

Em mới tìm được Min thôi ạ, Max =\(2\sqrt{2}+4\)nhưng chưa biết cách giải , mọi người giúp với ạ

áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ta có:

\(a^3+b^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3b^3.1}=3ab\)

\(\Rightarrow M=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}=\frac{\left(a^3+b^3+1\right)+3}{ab+1}\ge\frac{3ab+3}{ab+1}=3\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M=3 khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=2\\a^3=b^3=1\end{cases}\Rightarrow}a=b=1\)

Tìm max như này nè. Do \(a,b\ge\)0 nên ab\(\ge\)0
=> \(a^2+b^2\le\left(a+b\right)^2\)<=> a+b \(\ge\)\(\sqrt{2}\)
=>\(a^3+b^3\le\left(a+b\right)^3\le2\sqrt{2}\)
Xong nhé

\(P=xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+13x^2+4y^2-26x+24y+46.\)

\(=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y\right)+13\left(x^2-2x\right)+4\left(y^2+6y\right)+46\)

\(=\left[\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y\right)+4\left(y^2+6y\right)\right]+13\left(x^2-2x+4\right)-6\)

\(=\left(x^2-2x+4\right)\left(y^2+6y\right)+13\left(x^2-2x+4\right)-6\)

\(=\left(x^2-2x+4\right)\left(y^2+6y+13\right)-6\)

\(=\left[\left(x-1\right)^2+3\right]\left[\left(y+3\right)^2+4\right]-6\)

Ta có \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x-1\right)^2+3\ge3\)

\(\left(y+3\right)^2\ge0\forall y\Rightarrow\left(y+3\right)^2+4\ge4\)

Suy ra \(P=\left[\left(x-1\right)^2+3\right]\left[\left(y+3\right)^2+4\right]-6\ge3.4-6=6\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P=6 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y+3\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=-3\end{cases}.}\)

Câu này tương tự với câu có link bên dưới phải không ạ?

https://olm.vn/hoi-dap/detail/223114327893.html

\(abc=a+b+c+2\Leftrightarrow\frac{2}{abc}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\) đến đây ta nhìn thấy giả thiết đưa về cách đặt ẩn phụ đặc trưng:

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(\frac{x}{y+z};\frac{y}{z+x};\frac{z}{x+y}\right)\), cách đặt này hoàn toàn có thể vì:

\(\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{xy\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{yz\left(y+z\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}+\frac{xz\left(x+z\right)}{\left(x+y\left(y+z\right)\left(x+z\right)\right)}\)

\(=\frac{2xyz+x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2}{2xyz+x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2}=1\) (thỏa mãn giả thiết)

Khi đó \(\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\le\frac{1}{\sqrt{2ab}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}\right)\)

Tương tự và cộng lại ta được: \(P\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)

cách đặt của thơ là đúng nhưng e làm vậy ko tự nhiên cho lắm để a làm rõ cách đặt của e 

#btw cách của tth sai rồi nhé mặc dù a chưa kiểm tra m sai chỗ nào nhưng bdt cuối m ngc dấu rồi

\(abc=a+b+c+2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)+\left(b+1\right)\left(c+1\right)+\left(c+1\right)\left(1+a\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)

đặt \(x=\frac{1}{a+1}\Rightarrow a=\frac{1}{x}-1=\frac{x+y+z-x}{x}=\frac{y+z}{x}\) vì x+y+z=1 

phần sau e làm đúng rồi

@Linh:Chị mới sai ý,chị tính kĩ lại đi,a=b=c=2 suy ra hai vế đều bằng 8 nhé!

Nhưng đề nó là zay đó :<

Đấy cái t muốn nói đó. Trên tử phải là √x chứ sao lại x được ta?

Mình muốn tham khảo xem có cách nào giải những bài này hay hơn quy đồng không .-.

ĐKXĐ: \(-2\le x\le2.\)

\(\sqrt{9x^2+16}=2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}.\)

\(\Leftrightarrow9x^2+16=4\left(2x+4\right)+16\left(2-x\right)+2.2\sqrt{2x+\text{4}}.4\sqrt{2-x}\)(vì cả 2 vế của phương trình đều >0)

\(\Leftrightarrow9x^2+8x-32=16\sqrt{2\left(x+2\right)\left(2-x\right)}.\)

\(\Rightarrow\left(9x^2+8x-32\right)^2=-512\left(x^2-4\right).\)

\(\Leftrightarrow81x^4+144x^3-512x-1024=0\)

\(\Leftrightarrow\left(81x^4+144x^3+288x^2\right)+\left(-288x^2-512x-1024\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(9x^2\right)\left(9x^2+16x+32\right)-32\left(9x^2+16x+32\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(9x^2-32\right)\left(9x^2+16x+32\right)=0\)

Mà \(9x^2+16x+32=9\left(x+\frac{8}{9}\right)^2+\frac{224}{9}>0\)

Suy ra \(9x^2-32=0\Leftrightarrow x^2=\frac{32}{9}\Leftrightarrow x=\mp\frac{4\sqrt{2}}{3}.\)

Thử lại ta thấy \(x=\frac{4\sqrt{2}}{3}\)thỏa mãn .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x=\frac{4\sqrt{2}}{3}.\)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  \(x\frac{4\sqrt{2}}{3}\)

Chúc bạn học tốt ! k cho mình nhé.

Với a,b,c>0 ta có: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+\left(b+c\right)}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\) (áp dụng \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\))

Tương tự: \(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c};\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng 3 bđt trên vế với vế, ta được:

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{cases}}\), vô nghiệm vì a,b,c>0

Do đó \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)   (1)

Lại có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng lại ta được: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Bài khó 😁 😁 😁 😊

thanks bạn ST gì đó nha

Ta có:

\(\sqrt{x^2-x+19}+\sqrt{7x^2+8x+13}+\sqrt{13x^2+17x+7}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{4}\left(2x-1\right)^2+\frac{75}{4}}+\sqrt{\left(2x-1\right)^2+3\left(x+2\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{4}\left(2x-1\right)^2+\frac{3}{4}\left(4x+3\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\frac{75}{4}}+\sqrt{3\left(x+2\right)^2}+\sqrt{\frac{3}{4}\left(4x+3\right)^2}\)

\(=\frac{5\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\left(x+2\right)+\frac{\sqrt{3}\left(4x+3\right)}{2}=3\sqrt{3}\left(x+2\right)\)

Dấu = xảy ra khi ....