Xét tg ABO và tg ACO có

AO chung 

AB=AC (gt)

OB=OC=R

=> tg ABO = tg ACO (c.c.c)

\(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{ABO}=90^o\Rightarrow AC\perp OC\) => AC là tiếp tuyến với (O)

b/

Xét tg vuông EOI và tg vuông COI có

OE=OC=R; OI chung => tg EOI = tg COI (hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau)

Xét tg vuông EDI và tg vuông CDI có

DI chung 

tg EOI = tg COI (cmt) => IE=IC

=> tg EDI = tg CDI (hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau)

Xét tg DEO và tg DCO có

DO chung

OE=OC=R

tg EDI = tg CDI (cmt) => DE=DC

=> tg DEO = tg DCO (c.c.c)

\(\Rightarrow\widehat{DEO}=\widehat{DCO}=90^o\Rightarrow DE\perp OE\) => DE là tiếp tuyến với (O, R)

 

 

Nếu số lớn bớt đi 7 đơn vị thì được số lớn mới gấp 3 lần số bé

Khi đó hiệu 2 số là

257-7=250

Chia số lớn mới thành 3 phần thì số bé là 1 phần

Hiệu số phần bằng nhau là

3-1=2 phần

Giá trị 1 phần hay số bé là

250:2=125

Số lớn là

125x3+7=382

1/ Xét tg ABC và tg DBE có

BA=BD (gt)

DE//AC (gt) \(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{BDE}\) (góc so le trong)

\(\widehat{ABC}=\widehat{DBE}\) (góc đối đỉnh)

=> tg ABC = tg DBE (g.c.g)

2/

Ta có  tg ABC = tg DBE (cmt) => BC=BE

Xét tư giác ACDE có

BA=BD (gt); BC=BE (cmt) => ACDE là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> AE//CD (cạnh đối hbh)

3/

Xét tg ADC có

MA=MC (gt); BA=BD (gt) => BM là đường trung bình của tg ADC 

=> BM//CD

Xét tg ADE có

BA=BD (gt); NE=ND (gt) => BN là đường trung bình của tg ADE

=> BN//AE

Mà CD//AE (cạnh đối hbh)

=> BM//AE (cùng //CD)

\(\Rightarrow BN\equiv BM\) (từ 1 điểm ngoài đường thẳng cho trước chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)

=> M, B, N thẳng hàng

 

 

a/

\(2^{1050}=\left(2^2\right)^{525}=4^{525}< 5^{525}< 5^{540}\)

b/

\(2^{161}>2^{160}=\left(2^4\right)^{40}=16^{40}>13^{40}\)

c/

\(17^{14}>16^{14}=\left(2^4\right)^{14}=2^{56}>2^{55}=\left(2^5\right)^{11}=32^{11}>31^{11}\)

Gọi d là UC(n+7; n+8) nên

\(n+7⋮d\)

\(n+8⋮d\)

\(\Rightarrow n+8-\left(n+7\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> (n+7) và (n+8) là 2 số nguyên tố cùng nhau

 

a/

Xét tg SAD có

SM=DM; SN=AN => MN là đường trung bình của tg SAD

=> MN//AD

Mà AD//BC (cạnh đối hbh)

=> MN//BC mà \(BC\in\left(SBC\right)\) => MN//(SBC)

C/m tương tự ta cũng có NP//(SCD)

b/

Ta có

NP//(SCD) (cmt) (1)

Xét tg SBD có

SP=BP (gt)

OB=OD (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> PO là đường trung bình của tg SBD

=> PO//SD mà \(SD\in\left(SCD\right)\) => PO//(SCD) (2)

Từ (1) và (2) => (ONP)//(SCD)

C/m tương tự ta cũng có (OMN)//(SBC)

c/

Trong (ABCD) , qua O dựng đường thẳng // AD cắt AB và CD lần lượt tại H và K Ta có

MN//AD (cmt)

=> KH//MN

\(O\in\left(OMN\right);O\in KH\)

\(\Rightarrow KH\in\left(OMN\right)\) mà \(H\in AB;K\in CD\)

=>K; H là giao của (OMN) với CD và AB

d/

Ta có

KH//AD

AB//CD => AH//DK

=> AHKD là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

=> AD=HK

Ta có

MN là đường trung bình của tg SAD (cmt)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{AD}{2}\) mà AD=HK (cmt)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{HK}{2}\Rightarrow\dfrac{MN}{HK}=\dfrac{1}{2}\)

 

 

 

 

 

a/

\(\widehat{xOt}=\widehat{tOy}=\dfrac{\widehat{xOy}}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)

b/

\(\widehat{xAm}=\widehat{xOy}=60^o\) 

Hai góc trên ở vị trí đồng vị => Am//Oy

c/

Ta có

Am//Oy (cmt) \(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{tOy}\) (góc so le trong)

BC//Ox (gt) \(\Rightarrow\widehat{BCO}=\widehat{xOt}\) (góc so le trong)

Mà \(\widehat{xOt}=\widehat{tOy}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{BCO}\)

a/

\(A=\left(4+4^2\right)+4^2\left(4+4^2\right)+...+4^{22}\left(4+4^2\right)=\)

\(=20\left(1+4^2+4^4+...+4^{22}\right)⋮20\)

b/

\(A=\left(4+4^2+4^3\right)+...+\left(4^{22}+4^{23}+4^{24}\right)=\)

\(=4\left(1+4+4^2\right)+...+4^{22}\left(1+4+4^2\right)=\)

\(=21\left(4+4^4+...+4^{22}\right)⋮21\)

c/

A đồng thời chia hết cho 20 và 21, mà 20 và 21 là 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow A⋮20.21=420\)

Giả sử \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà \(y=\left(m-2\right)x+3m-1\) luôn đi qua \(\forall m\)

\(\Rightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+3m-1\)

\(\Leftrightarrow y_0-mx_0+2x_0-3m+1=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0+3\right)-y_0-2x_0-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+3=0\\-y_0-2x_0-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-3\\y_0=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy với mọi m đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm cố định có tọa độ (-3; -5)

Xét tg ABC có

\(\widehat{C}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180^o\) (tổng các góc trong 1 tg bằng 360 độ)

Ta có Ax//By

\(\Rightarrow\widehat{ABy}+\widehat{BAx}=180^o\) (2 góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{C}+\widehat{ABC}+\widehat{ABy}+\widehat{BAC}+\widehat{BAx}=180^o+180^o=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}+\widehat{B}+\widehat{A}=360^o\)