Tìm các số nguyên dương x,y biết 1!+2!+3!+...+x!=y2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 12 2020
1.
\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)
\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)
\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)
Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)
\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)
\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)
\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)
\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)
\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)
\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)
Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 12 2020
2.
Đặt \(A=9^n+62\)
Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)
Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)
\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)
Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\) và \(6m+1\)
\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)
\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)
\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)
\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)
Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp
13 tháng 1 2019
Bài 2: Giả sử tồn tại x,y nguyên dương t/m đề, khi đó pt cho tương đương:
\(4x^2+4y^2-12x-12y=0\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2+\left(2y+3\right)^2=18\)
Ta thấy: \(18=9+9=3^2+3^2\). Mà x,y thuộc Z+ nên \(\hept{\begin{cases}2x+3=3\\2y+3=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)
Vậy cặp nghiệm nguyên t/m pt là (x;y) = (0;0)
13 tháng 1 2019
Làm lại bài 2 :v (P/S: Bạn bỏ bài kia đi nhé)
\(4x^2+4y^2-12x-12y=0\Leftrightarrow\left(2x-3\right)^2+\left(2y-3\right)^2=18\)
Ta thấy: \(18=9+9=3^2+3^2\). Mà x,y thuộc Z+ nên \(\hept{\begin{cases}2x-3=3\\2y-3=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}}\)
Vậy (x;y) = (3;3)
1 tháng 4 2020
\(\frac{x}{4}=\frac{25}{x}\)
\(\Rightarrow x^2=100\)
\(x^2=\left(\pm10\right)^2\)
\(x=\pm10\)
\(\frac{y2}{3}=\frac{12}{1}\)
\(y2=36\)
\(y=36:2\)
\(y=18\)
chúc bạn học tốt
NT
1
21 tháng 11 2023
\(\dfrac{x}{6}-\dfrac{5}{2y+1}=\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{x}{6}-\dfrac{5.2}{2y.2+1.2}=\dfrac{4}{6}\)(vì 2y + 1 là số lẻ)
\(\dfrac{x}{6}-\dfrac{10}{4y+2}=\dfrac{4}{6}\)
Để \(\dfrac{x}{6}-\dfrac{10}{4y+2}=\dfrac{4}{6}\)thì y = 1 để cùng mẫu số
Khi đó ta có\(\dfrac{x}{6}-\dfrac{10}{4y+2}=\dfrac{4}{6}\) = \(\dfrac{x}{6}-\dfrac{10}{4+2}=\dfrac{4}{6}\) = \(\dfrac{x}{6}-\dfrac{10}{6}=\dfrac{4}{6}\)
Vì 4+10 = 14 => x = 14
Vậy y = 1; x = 14
DD
1
17 tháng 8 2018
\(\frac{x}{2}+\frac{x}{y}-\frac{3}{2}=\frac{10}{y}\)
\(\Rightarrow\frac{x-3}{2}=\frac{10-x}{y}\)
\(\Rightarrow\left(x-3\right)y=\left(10-x\right)2\)
\(\Rightarrow xy-3y-20+2x=0\)
\(\Rightarrow x\left(y+2\right)-3\left(y+2\right)-14=0\)
\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(x-3\right)-14=0\)
\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(x-3\right)=14\)
\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(x-3\right)\inƯ\left(14\right)\)
Sau đó bạn lập bảng là được .
NN
2
7 tháng 3 2020
Không mất tính tổng quát giả sử x ≥ y
⇒x²<x²+8y≤x²+8x<(x+4)²
VÌ x²+8yx²+8y là số chính phương ⇒x²+8y=(x+1)2x²+8y=(x+1)2
hoặc x²+8y=(x+2)2x²+8y=(x+2)²
hoặc x²+8y=(x+3)²
Nếu x²+8y=(x+1)²
⇒8y=2x+1 (vô lí vì 1 bên lẻ 1 bên chẵn)
Nếu x²+8y=(x+2)² ⇒8y=4x+4 ⇒2y=x+1
⇒[(x+1)2]²+8x ⇒(x+12)²+8x là số chính phương.
⇒x²+34x+1=a² với a∈N
⇒(x+17)²−288=a²
⇒(x+17−a)(x+17+a)=288
Đến đây thì dễ rồi
Nếu x²+8y=(x+3)2 ⇒8y=6x+9x²+8y=(x+3)²
⇒8y=6x+9 (Vô lí vì VT chẵn còn VP thì không)
7 tháng 3 2020
Giả sử x ≤ y
Ta có: y2 ≤ y2 + 8x ≤ y2 + 8y ≤ y2 + 8y + 16 = (y + 4)2
=> y2 + 8x = (y+1)²
(y+2)²
(y+3)²
Xét TH1 : y2 + 8x = (y + 1)2
=> y2 + 8x = y2 + 2y +1
=> 8x - 2y = 1
=> 4x - y = 1212 => Loại vì x, y ∈ N*
Xét TH2: y2 + 8x = (y + 2)2
=> y2 + 8x = y2 + 4x + 4
=> 8x - 4y = 4
=> 2x - y = 1 mà x;y ∈ N* nên ta có các trường hợp sau:
Nếu x = 1 => y = 1 => x2 + 8y = 9 (TM) ; y2 + 8x = 9 (TM)
Nếu x = 2 => y = 3 => x2 + 8y = 28 (Loại)
Nếu x ≥ 3 => 2x ≥ 6 => y ≤ 5 => Loại vì x≤ y
Xét TH3 : y2 + 8x = ( y +3 )2
=> y2 + 8x = y2 + 6y + 9
=> 8x - 6y = 9
=> 4x - 3y = 4,5 => Loại vì x,y ∈ N*
Vậy (x,y) = (1;1)
cái dới không correct
17 tháng 6 2020
Bài làm:
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow3\left(x+y\right)=xy\)
\(\Leftrightarrow3x-xy+3y=0\)\(\Leftrightarrow\left(3x-xy\right)+\left(3y-9\right)=-9\)
\(\Leftrightarrow x\left(3-y\right)-3\left(3-y\right)=-9\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y-3\right)=9\)mà \(9=1.9=3.3=\left(-1\right)\left(-9\right)=\left(-3\right)\left(-3\right)\)
Vì x,y là các số nguyên dương
Ta xét các trường hợp sau:
+TH1: \(\hept{\begin{cases}x-3=1\\y-3=9\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=4\\x=12\end{cases}}\)
+TH2: \(\hept{\begin{cases}x-3=9\\y-3=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=12\\y=4\end{cases}}\)
+TH3: \(\hept{\begin{cases}x-3=3\\y-3=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=6\end{cases}}}\)
Vậy có 3 cặp số (x;y) nguyên dương thỏa mãn: \(\left(4;12\right);\left(12;4\right);\left(6;6\right)\)
F
17 tháng 6 2020
Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)=xy\)
\(\Leftrightarrow3x+3y-xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-xy\right)+\left(3y-9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(3-y\right)-3\left(3-y\right)=-9\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y-3\right)=9\)
Mà \(9=1,9=3,3=\left(-1\right)\left(-9\right)=\left(-3\right)\left(-3\right)\)
Vì xy là các số nguyên dương
Xét các TH sau:
\(TH_1\hept{\begin{cases}x-3=1\\y-3=9\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=12\end{cases}}}\)(tm)
\(TH_2\hept{\begin{cases}x-3=9\\x-3=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=12\\x=4\end{cases}}}\)(tm)
\(TH_3\hept{\begin{cases}x-3=3\\x-3=3\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=6\end{cases}}}\)(tm)
VẬy ta có 3 cặp (x;y) tm là (4;12);(12;4);(6;6)
Vậy
NM
3
XO
25 tháng 7 2023
\(x^2+y^2+2\left(x+y\right)-xy=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2-4xy+4y^2+8\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+4\left(2x-y\right)+4+3y^2+12y+12=-16\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y+2\right)^2+3\left(y+2\right)^2=-16\)
Dễ thấy VT \(\ge0\) ; VP < 0 nên phương trình vô nghiệm
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
24 tháng 7 2023
\(x^2+y^2-2\left(x+y\right)=xy\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=2+xy\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2+xy\)
Ta lại có : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge2\left(x-1\right)\left(y-1\right)\) (Bất đẳng thức Cauchy)
Với x=1 thì y=1 thỏa mãn
Với x=2 thì y2=3 (vô lý)
Với x=3 thì y=3 thỏa mãn
Với x>hoặc=4
+ ta có 1!+2!+3!+4!= 33; 5!+6!+...+x! có chữ số tận cùng =0 => VT có chữ số tận cùng là 3
+ mặc khác một số chính phương không thể có chữ số tận cùng =3
=> ko có số nguên thỏa mãn vs x=4
Vậy ta có các cặp số (x;y)=(1;1);(3;3)
Chúc bn học tốt!!!!!!!
X=1; Y=1