Phương trình hoành độ giao điểm 

x² = -2x + m - 1

<=> x² + 2x + 1 - m = 0 (1)

(p) cắt (d) 2 điểm phân biệt <=> \(\Delta=4-4\left(1-m\right)=4m>0\Leftrightarrow m>0\)

Hệ thức viete cho (1) : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=1-m\end{matrix}\right.\)

Do A(x₁ ; y₁) và B(x₂ ; y₂) \(\in d\)

nên y₁ = -2x₁ + m - 1 

y₂ = -2x₂ + m - 1

khi đó y₁ + y₂ = 2m - 2 - 2(x₁ + x₂) = 2m + 2 

Ta có (y₁ + y₂)² = 110 - x₁² - x₂²

<=> (2m + 2)² = 110 - (x₁² + x₂²)

<=> (2m + 2)² = 110 - (x₁ + x₂)² + 2x₁x₂ 

<=> (2m + 2)² = 108 - 2m

<=> 4m² + 10m - 104 = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-\dfrac{13}{2}\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy m = 4

a) Phương trình hoành độ giao điểm : 

x² = 2x + m² 

<=> x² - 2x - m² = 0 (1)

Có \(\Delta=\left(-2\right)^2-4.1.\left(-m^2\right)=4m^2+4>0\forall m\inℝ\)

=> Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

=> ĐPCM

b) Áp dụng hệ thức Viete cho phương trình (1)

\(x_1+x_2=2;x_1x_2=-m^2\)

Khi đó (x₁ + 1)(x₂ + 1) = -3

<=> x₁x₂ + x₁ + x₂ + 4 = 0 

<=> -m² + 6 = 0

<=> \(m=\pm\sqrt{6}\)

P = 10m = 10.400 = 4000(N)

Công sinh ra để nâng vật : 

A = F.s = P.s = 4000.20 = 80000(J)

b) Công suất của máy 

\(P=\dfrac{A}{t}=\dfrac{80000}{10}=8000\left(W\right)\)

c) Hiệu suất : \(H=\dfrac{P}{P_1}.100\%0=\dfrac{8000}{20000}.100\%=40\%\)

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}4x^2-1\ne0\\8x^3+1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ne\pm\dfrac{1}{2}\)

\(P=\dfrac{2x^5-x^4-2x+1}{4x^2-1}+\dfrac{8x^2-4x+2}{8x^3+1}\)

\(=\dfrac{\left(x^4-1\right)\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}+\dfrac{2\left(4x^2-2x+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(4x^2-2x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^4-1}{2x+1}+\dfrac{2}{2x+1}=\dfrac{x^4+1}{2x+1}\)

1. \(\left\{{}\begin{matrix}3x+4y=11\\2x-y=-11\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+4y=11\\8x-4y=-44\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+4y=11\\11x=-33\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=5\\x=-3\end{matrix}\right.\)

2. \(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=0\\2x+y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=0\\4x+2y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=-2\end{matrix}\right.\)

3.\(\left\{{}\begin{matrix}3x+\dfrac{5}{2}y=9\\2x+\dfrac{1}{3}y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x+5y=18\\6x+y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4y=12\\6x+y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Thời gian đi không tính nghỉ là 

8 giờ 15 phút - 30 phút = 7 giờ 45 phút = \(\dfrac{31}{4}\) giờ

Độ dài quãng đường AB 

\(S_{AB}=40.\dfrac{31}{4}:2=155\) (km) 

Parabol qua A(4;-3) và đỉnh I(1;5) ta có : 

-3 = 16a - 4b + c

5 = a - b + c

\(-\dfrac{\left(-b\right)}{2a}=1\Leftrightarrow b-2a=0\) 

Giải hệ trên ta có  : \(a=-\dfrac{8}{9};b=-\dfrac{16}{9};c=\dfrac{37}{9}\)

Gọi số cần lập là x = \(\overline{abc}\) (a;b;c có nghĩa) 

Do x chẵn và 2 chữ số 1;3 đứng cạnh nhau nên 

=> a có 2 cách chọn ; b có 1 cách chọn 

mà \(a\ne b\ne c\) ; x chẵn nên c có 3 cách chọn

Áp dụng quy tắc nhân 

Có : 2.1.3 = 6 số thỏa mãn yêu cầu 

a) Vector chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(4;-2\right)\)

=> Vector pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(2;4\right)\)

Phương trình (d) : 2(x + 1) + 4(y - 1) = 0 

<=> x + 2y - 1 = 0

b) \(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{\left|3.\left(-1\right)-4.1-3\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=2\)

c) Do đường thẳng \(d_1\perp\Delta\)

nên \(\overrightarrow{u}\left(4;-2\right)\) là vector pháp tuyến của (d₁)

Phương trình tổng quát : 

4(x + 1) - 2(y - 2) = 0

<=> 2x - y + 4 = 0 

a) ĐKXĐ : \(x^2-16\ne0\Leftrightarrow x\ne\pm4\)

TXĐ hàm số D = \(ℝ\backslash\left\{4;-4\right\}\)

b) ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}2x-3\ge0\\4-x\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}\le x\le4\)

TXĐ hàm số D = \(\left[\dfrac{3}{2};4\right]\)