Question

[Pham Trong Bach]

Xét tứ diện AB = BC = CD = DA = 1 và AC = BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng

A.  2 3 27

B.  4 3 27

C.  2 3 9

D.  4 3 9

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Gọi I, H lần lượt là trung điểm AC, BD. Ta có B I ⊥ A C D I ⊥ A C ⇒ A C ⊥ I B D  và V I . B C D = V I . A B D  

Lại có I B = A B 2 - A I 2 = 1 - x 2 4 ,với AC = BD = x.  

Và  I H = I B 2 - B H 2 = 1 - x 2 4 - x 2 4 = 1 - x 2 2

Diện tích tam giác IBD là S ∆ I B D = 1 2 I H . B D = x 2 1 - x 2 2  

Suy ra V A B C D = 2 V I . B C D = 2 3 I C . S I B D = x 3 . x 2 1 - x 2 2 = x 2 6 1 - x 2 2  

Xét hàm số f x = x 2 2 - x 2 → m a x f x = 4 6 9  

Vậy thể tích lớn nhất là V m a x = 4 6 9 : 6 2 = 2 3 27