K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
31 tháng 8 2020

\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

NV
25 tháng 2 2020

\(P=\sum\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+4x^2+2xy+y^2}}\le\sum\frac{1}{\sqrt{2xy+4x^2+2xy+y^2}}=\sum\frac{1}{2x+y}\)

\(P\le\sum\frac{1}{x+x+y}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}+\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P\le\frac{1}{3}\sqrt{2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 8 2019

Lời giải:

Vì $xy+yz+xz=1$ nên:

\(x^2+1=x^2+xy+yz+xz=(x+y)(x+z)\)

\(y^2+1=y^2+xy+yz+xz=(y+x)(y+z)\)

\(z^2+1=z^2+xy+yz+xz=(z+y)(z+x)\)

Do đó:

\(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{1+z^2}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+x)(y+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}\)

\(=\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2}{\sqrt{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}}\)

\(=\frac{2}{\sqrt{(x+y)(x+z)(y+z)(y+x)(z+x)(z+y)}}=\frac{2}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}}\) (đpcm)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 8 2019

Lời giải:

Vì $xy+yz+xz=1$ nên:

\(x^2+1=x^2+xy+yz+xz=(x+y)(x+z)\)

\(y^2+1=y^2+xy+yz+xz=(y+x)(y+z)\)

\(z^2+1=z^2+xy+yz+xz=(z+y)(z+x)\)

Do đó:

\(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{1+z^2}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+x)(y+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}\)

\(=\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2}{\sqrt{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}}\)

\(=\frac{2}{\sqrt{(x+y)(x+z)(y+z)(y+x)(z+x)(z+y)}}=\frac{2}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}}\) (đpcm)

NV
2 tháng 3 2020

1.

\(x^2+y^2+z^2\ge2xy+2yz-2zx\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+z\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+z=y\)

2.

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

20 tháng 11 2019

Áp dụng BĐT AM - GM:

\(\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}\le\frac{x^2+1-x^2}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{x^3}{\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}}\ge2x^3\)

Tương tự ta CM được:

\(\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{y^3}{\sqrt{y^2\left(1-y^2\right)}}\ge2y^3\) ; \(\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}=\frac{z^3}{\sqrt{z^2\left(1-z^2\right)}}\ge2z^3\)

Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên, ta được:

\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)

bạn xem lại đề xem, mình làm thấy dấu ''='' không xảy ra

NV
20 tháng 11 2019

\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{2x^3}{2x\sqrt{1-x^2}}\ge\frac{2x^3}{x^2+1-x^2}=2x^3\)

Tương tự: \(\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3\) ; \(\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)

Cộng vế với vế:

\(VT\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)

Dấu "=" ko xảy ra nên BĐT sai, vế trái lớn hơn vế phải 1 cách tuyệt đối.

BĐT đúng là: \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}>2\)

19 tháng 8 2020

Đặt \(P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

Do x,y,z là các số thực dương nên ta biến đổi \(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

Đặt \(a=\frac{1}{x^2};b=\frac{1}{y^2};c=\frac{1}{z^2}\left(a,b,c>0\right)\)thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}=1\)và \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}+a+b+c\)

Biến đổi biểu thức P=\(\left(\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{a+1}{16}\right)+\left(\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{b+1}{16}\right)\)\(+\left(\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{c+1}{16}\right)+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{b}-\frac{3}{16}\)

Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy ta có

\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{a+1}{64\left(a+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{b+1}{64\left(b+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{c+1}{64\left(c+1\right)}}+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{16}-\frac{3}{16}\)

\(=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\left(a+b+c\right)\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{abc}\)

Mặt khác ta có \(1=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Leftrightarrow abc\ge27\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{27}=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot9=\frac{21}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

19 tháng 8 2019

2.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :

\(\left(1+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow82\cdot\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge x+\frac{9}{x}\)

Tương tự ta cũng có :

\(\sqrt{82}\cdot\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge y+\frac{9}{y}\)

\(\sqrt{82}\cdot\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge z+\frac{9}{z}\)

Cộng theo vế của các bất đẳng thức ta được :

\(\sqrt{82}\cdot\left(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\right)\ge x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot P\ge x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}\)(1)

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}=81x+\frac{9}{x}+81y+\frac{9}{y}+81z+\frac{9}{z}-80x-80y-80z\)

\(\ge2\sqrt{\frac{81x\cdot9}{x}}+2\sqrt{\frac{81y\cdot9}{y}}+2\sqrt{\frac{81z\cdot9}{z}}-80\left(x+y+z\right)\)

\(\ge2\sqrt{729}+2\sqrt{729}+2\sqrt{729}-80\cdot1\)

\(=82\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\sqrt{82}\cdot P\ge82\)

\(\Leftrightarrow P\ge\sqrt{82}\) ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

19 tháng 8 2019

1.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :

\(\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}\)

\(=a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\)

\(=9a+\frac{1}{a}+9b+\frac{1}{b}+9c+\frac{1}{c}-8a-8b-8c\)

\(\ge2\sqrt{\frac{9a}{a}}+2\sqrt{\frac{9b}{b}}+2\sqrt{\frac{9c}{c}}-8\left(a+b+c\right)\)

\(\ge3\cdot2\sqrt{9}-8=10\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

NV
24 tháng 9 2019

\(P=\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\ge\frac{1+x^2}{1+\frac{y^2+1}{2}+z^2}+\frac{1+y^2}{1+\frac{z^2+1}{2}+x^2}+\frac{1+z^2}{1+\frac{x^2+1}{2}+y^2}\)

\(P\ge\frac{2\left(1+x^2\right)}{3+y^2+2z^2}+\frac{2\left(1+y^2\right)}{3+z^2+2x^2}+\frac{2\left(1+z^2\right)}{3+x^2+2y^2}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}3+y^2+2z^2=a\\3+z^2+2x^2=b\\3+x^2+2y^2=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+x^2=\frac{c+4b-2a}{9}\\1+y^2=\frac{a+4c-2b}{9}\\1+z^2=\frac{b+4a-2c}{9}\end{matrix}\right.\) với \(a;b;c\ge3\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(c+4b-2a\right)}{9a}+\frac{2\left(a+4c-2b\right)}{9b}+\frac{2\left(b+4a-2c\right)}{9c}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\right)+\frac{8}{9}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)-\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}.3+\frac{8}{9}.3-\frac{4}{3}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z=1\)

7 tháng 9 2016

Áp dụng Bđt Cosi

\(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Ta có:

\(\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{2}{\frac{1}{3}}+\frac{8}{\left(x+y+z\right)^2}\ge14\) (Đpcm)

Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

7 tháng 9 2016

Hình như có 2 TH nhỉ?