Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Biết trước điểm rơi rồi thì quá EZ.
\(P=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\)
\(=\left(\frac{3}{a}+\frac{3a}{4}\right)+\left(\frac{9}{2b}+\frac{b}{2}\right)+\left(\frac{4}{c}+\frac{c}{4}\right)+\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+\frac{3c}{4}\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3}{a}\cdot\frac{3a}{4}}+2\sqrt{\frac{9}{2b}\cdot\frac{b}{2}}+2\sqrt{\frac{4}{c}\cdot\frac{c}{4}}+\frac{a+2b+3c}{4}\)
\(\ge13\)
Dấu "=" xảy ra tại a=2;b=3;c=4
\(M=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\)
\(=\left(\frac{3}{x}+\frac{3x}{4}\right)+\left(\frac{9}{2y}+\frac{y}{2}\right)+\left(\frac{4}{z}+\frac{z}{4}\right)+\left(\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{3z}{4}\right)\)
\(\ge13\)
Dấu "=" xảy ra tại x=2;y=3;z=4
\(\frac{16}{2x+y+z}=\frac{16}{x+x+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Tương tự:
\(\frac{16}{x+2y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z};\frac{16}{x+y+2z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\)
Cộng lại:
\(16P\le4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=16\Rightarrow P\le1\)
dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
\(ĐK:x,y,z>\frac{1}{2}\)
Ta có: \(\left(x+2y\right)^2=\left(\frac{3y}{2}+\frac{y+2x}{2}\right)^2\ge4.\frac{3y}{2}.\frac{y+2x}{2}=3y\left(2x+y\right)\)\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{x+2y}{3xy}=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Tương tự: \(\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\); \(\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(VT\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số dương, ta được: \(\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+2y+3z}.\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)}=\frac{1}{3}x\Rightarrow\frac{x^2}{x+2y+3z}\ge\frac{11}{36}x-\frac{1}{18}y-\frac{1}{12}z\)Tương tự, ta có: \(\frac{y^2}{y+2z+3x}\ge\frac{11}{36}y-\frac{1}{18}z-\frac{1}{12}x\); \(\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{11}{36}z-\frac{1}{18}x-\frac{1}{12}y\)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên, ta được: \(G=\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{y^2}{y+2z+3x}+\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)=1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\le1\)
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\ge\frac{4}{2x+y+z}\Rightarrow2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge4\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+x+y}\right)\)
\(4M\le1\Leftrightarrow M\le\frac{1}{4}\) \(M=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=3\)
Lời giải:
Đặt $(x,2y,3z)=(a,b,c)$. Khi đó bài toán trở thành:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Tìm GTLN của:
\(S=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ca}{ac+2b}}\)
------------------------------------
Từ $a+b+c=2$ ta có:
\(S=\sqrt{\frac{ab}{ab+(a+b+c)c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+(a+b+c)a}}+\sqrt{\frac{ca}{ac+(a+b+c)b}}\)
\(=\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}+\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{\frac{ca}{(b+c)(b+a)}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)
\(\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{(b+a)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b+a}+\frac{c}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế:
\(S\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy $S_{\max}=\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
hay $x=\frac{2}{3}; y=\frac{1}{3}; z=\frac{2}{9}$
bài này có trên OLM do a Dw ( incursion_03 ) giải nè.Đề tuyển sinh vào lớp 10 Dak Lak
Bài này dùng Cauchy ngược dấu:
\(\Sigma\frac{2x^2}{x+y^2}=\Sigma\frac{2x\left(x+y^2\right)-2xy^2}{x+y^2}=2\left(x+y+z\right)-2.\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\)
Từ đây ta có thể quy bđt vế chứng minh: \(\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\le\frac{x+y+z}{2}\)
Ta có: \(VT\le\Sigma\frac{xy^2}{2\sqrt{xy^2}}=\Sigma\frac{\sqrt{xy.y}}{2}\le\frac{xy+yz+zx+x+y+z}{4}\)
Như vậy cần chứng minh: \(xy+yz+zx\le x+y+z\)
Ta có: \(VT=\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}\le x+y+z\)
Từ đây có đpcm:)
