Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dạng: \(....f'\left(x\right)+...f\left(x\right)=...\)
Ý tưởng luôn là đưa về đạo hàm của tổng sau đó lấy nguyên hàm 2 vế.
Thêm bớt sao cho vế trái biến thành: \(u\left(x\right).f'\left(x\right)+u'\left(x\right).f\left(x\right)\) là được
So sánh nó với vế trái đề bài, dư ra \(u'\left(x\right)\) ở trước \(f\left(x\right)\) nên ta chia nó (vế kia vẫn ko quan tâm)
Được: \(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}.f'\left(x\right)+f\left(x\right)\)
So sánh nó với đề bài, vậy ta cần tìm hàm \(u\left(x\right)\) sao cho:
\(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}=x\left(x+1\right)\)
Nhưng để thế này ko lấy nguyên hàm được, phải nghịch đảo 2 vế:
\(\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}\)
Giờ thì lấy nguyên hàm: \(\int\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}dx=\int\dfrac{dx}{x\left(x+1\right)}\Leftrightarrow ln\left|u\left(x\right)\right|=ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+C\)
Tới đây suy được \(u\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\) \(\Rightarrow\) vế trái cần có dạng:
\(\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)\)
Nhìn vào đây là xong rồi. Bài toán sẽ được giải như sau:
Chia 2 vế giả thiết cho \(\left(x+1\right)^2\):
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)\right)'=\dfrac{x}{x+1}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)=\int\dfrac{x}{x+1}dx=\int\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)dx=x-ln\left|x+1\right|+C\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x-\dfrac{x}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C\)
Thay \(x=1\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)=\dfrac{1}{2}-ln2+C\Rightarrow-2ln2=\dfrac{1}{2}-ln2+C\)
\(\Rightarrow C=-ln2-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|-ln2-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=...\)
Cho hàm số y=f(x)y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên [0;π2][0;π2]thoả mãn f(x)=f′(x)−2cosxf(x)=f′(x)−2cosx. Biết f(π2)=1f(π2)=1, tính giá trị f(π3)f(π3)
A. √3+1/2 B. √3−1/2 C. 1−√3/2 D. 0
\(x\left(x+1\right)f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}.f'\left(x\right)+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)=\frac{x^2+x}{\left(x+1\right)^2}=\frac{x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{x+1}.f\left(x\right)\right)'=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}f\left(x\right)=\int\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx=x-ln\left|x+1\right|+C\)
Thay \(x=1\) vào ta được
\(\frac{1}{1+1}f\left(1\right)=1-ln2+C\Rightarrow C=\frac{f\left(1\right)}{2}+ln2-1=-1\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}f\left(x\right)=x-ln\left|x+1\right|-1\)
Thay \(x=2\) vào ta được:
\(\frac{2}{3}f\left(2\right)=2-ln3-1\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{3}{2}\left(1-ln3\right)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}ln3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{2}\)
Phương pháp để dẫn tới cách giải trên như sau:
Nhìn vế trái, ta thấy nó có dạng gần giống với biểu thức đạo hàm của một tích, vậy ta cố gắng đưa vế trái thành đạo hàm của một tích.
Giả sử sau khi biến đổi, ta được vế trái có dạng: \(VT=\left(u.f\right)'\) ta cần tìm hàm \(u\left(x\right)\) này
\(\Rightarrow VT=u.f'+u'.f\)
Chia cho \(u\) ta được: \(\frac{VT}{u}=f'+\frac{u'}{u}.f\)
Chỉ cần quan tâm tới dạng \(f'+\frac{u'}{u}.f\) (1)
Nói chung là ta cần triệt tiêu toàn bộ hệ số đằng trước \(f'\left(x\right)\)
Ta biến đổi biểu thức ban đầu về dạng (1) bằng cách chia biểu thức điều kiện cho \(x\left(x+1\right)\)
\(f'\left(x\right)+\frac{1}{x\left(x+1\right)}f\left(x\right)=\frac{x^2+x}{x\left(x+1\right)}\) (2)
Chỉ quan tâm tới vế trái của (2), đồng nhất nó với (1) ta thấy:
\(\frac{u'}{u}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{1}{x\left(x+1\right)}dx\Leftrightarrow ln\left(u\right)=ln\left(\frac{x}{x+1}\right)\Rightarrow u=\frac{x}{x+1}\)
Vậy ta đã biết hàm \(u\left(x\right)\) cần tìm là \(u\left(x\right)=\frac{x}{x+1}\)