Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1, hiển nhiên a+b>0
có a^2+2ab+2b^2-2b=8=>(a+b)^2=8-(b^2-2b)=9-(b-1)^2 </ 9 => a+b </ 3
\(A=2017+a^2+b^2+c^2\ge2017+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=2020\)
\(A_{min}=2020\) khi \(a=b=c=1\)
\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow4\ge\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow-2\le a+b\le2\)
\(4ab\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow4ab\le4\Leftrightarrow ab\le1\)
\(A=\left(3-a\right)\left(3-b\right)=9-3a-3b+ab=9-3\left(a+b\right)+ab\le9+3.2+1=16\)
\(A_{max}=16\Leftrightarrow a=b=-1\)
\(\left(a+b\right)^2\ge2\left(a^2+b^2\right)=4\Rightarrow-2\le a+b\le2\)
\(P=9-3\left(a+b\right)+ab=9-3\left(a+b\right)+\dfrac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{2}\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2-3\left(a+b\right)+8\)
Đặt \(a+b=x\Rightarrow-2\le x\le2\)
\(P=\dfrac{1}{2}x^2-3x+8=\dfrac{1}{2}\left(x-2\right)\left(x-4\right)+4\)
Do \(-2\le x\le2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2\le0\\x-4< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-4\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\ge4\Rightarrow P_{min}=4\) khi \(x=2\Leftrightarrow a=b=1\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(x+2\right)\left(x-8\right)+16\)
Do \(-2\le x\le2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2\ge0\\x-8< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+2\right)\left(x-8\right)\le0\)
\(\Rightarrow P\le16\Rightarrow P_{max}=16\) khi \(x=-2\Leftrightarrow a=b=-1\)
Với mọi số thực ta luôn có:
`(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`
`<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2>=0`
`<=>2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)`
`<=>3(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)`
`<=>3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2=4`
`<=>a^2+b^2+c^2>=4/3`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=2/3`
~Quang Anh Vũ~
\(\text{Đặt}\)\(x=a+b\ge2\)
\(P=\frac{a^2+b^2+5}{a+b+3}=\frac{a^2+b^2+2.1+3}{a+b+3}=\frac{a^2+b^2+2ab+3}{a+b+3}=\frac{\left(a+b\right)^2+3}{a+b+3}=\frac{x^2+3}{x+3}\)
\(\Rightarrow P-\frac{7}{5}=\frac{x^2+3}{x+3}-\frac{7}{5}=\frac{\left(5x^2+15\right)-\left(7x+21\right)}{x+3}=\frac{\left(x-2\right).\left(5x+3\right)}{x+3}\ge0\)
\(\text{Vậy giá trị nhỏ nhất của}\)\(P=\frac{7}{5}\Rightarrow x=2\)
\(\Rightarrow a+b=2;ab=1\)
\(\Rightarrow a=b=1\)
\(P=a^2+b^2+\frac{5}{a+b+3}\left(a,b>0\right)\)..
\(P=\left(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{5^2}{a+b+3}\right)-\frac{20}{a+b+3}\).
Trước hết, ta chứng minh được:
\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\)với \(x,y,z\in R;m,n,p>0\)\(\left(1\right)\)(tự chứng minh).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{m}=\frac{y}{n}=\frac{z}{p}\).
Áp dụng bất đẳng thức \(\left(1\right)\)với \(a,b>0\), ta được:
\(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{5^2}{a+b+3}\ge\frac{\left(a+b+5\right)^2}{1+1+a+b+3}=\frac{\left(a+b+5\right)^2}{a+b+5}\)\(=a+b+5\).
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\frac{5^2}{a+b+3}-\frac{20}{a+b+3}\ge a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\).
\(\Leftrightarrow P\ge a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\left(2\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{1}=\frac{b}{1}=\frac{5}{a+b+3}=\frac{a+b+5}{1+1+a+b+3}=1\).
\(\Leftrightarrow a=b=1\).
Vì \(a,b>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\).
\(\Leftrightarrow a+b\ge2.\sqrt{1}=2.1=2\)(vì \(ab=1\)).
\(\Leftrightarrow a+b+3\ge5\).
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+3}\le\frac{1}{5}\).
\(\Rightarrow\frac{-1}{a+b+3}\ge-\frac{1}{5}\).
\(\Leftrightarrow\frac{-20}{a+b+3}\ge\frac{-20}{5}=-4\left(3\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\).
Ta lại có: \(a+b\ge2\)(chứng minh trên).
\(\Leftrightarrow a+b+5\ge7\left(4\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\).
Từ \(\left(3\right)\)và \(\left(4\right)\), ta được:
\(a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\ge7-4=3\left(5\right)\).
Từ \(\left(2\right)\)và \(\left(5\right)\), ta được:
\(P\ge3\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\).
Vậy \(minP=3\Leftrightarrow a=b=1\).
Theo bài ra , ta có :
\(3a+2b-c-d=1\)
\(2a+2b-c-2d=2\)
\(4a-2b-3c+d=3\)
\(8a+b-6c+d=4\)(1)
Cộng từng vế của 3 biểu thức đầu lại ta đk \(3a+2b-c-d+2a+2b-c-2d+4a-2b-3c+d=1+2+3\)
\(\Leftrightarrow9a+2b-5c+2d=6\)(2)
Trừ phương trình (2) cho phương trình (1) theo từng vế ta đk
\(9a+2b-5c+2d-8a-b+6c-d=6-4=2\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+d=2\)
Vậy \(a+b+c+d=2\)
Chúc bạn học tốt =))
