Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta đặt \(a^2+4b+3=k^2\)
\(\Leftrightarrow k^2-a^2\equiv3\left[4\right]\)
Mà \(k^2,a^2\equiv0,1\left[4\right]\) nên \(k^2⋮4,a^2\equiv1\left[4\right]\) \(\Rightarrow k⋮2,a\equiv1\left[2\right]\)
Đặt \(k=2l,a=2c+1>b\), ta có \(\left(2c+1\right)^2+4b+3=4l^2\)
\(\Leftrightarrow4c^2+4c+4b+4=4l^2\)
\(\Leftrightarrow c^2+c+1+b=l^2\)
Nếu \(b< c\) thì \(c^2< c^2+c+1+b< c^2+2c+1=\left(c+1\right)^2\), vô lí.
Nếu \(c< b< 2c+1\) thì
\(\left(c+1\right)^2< c^2+c+1+b< c^2+4c+4=\left(c+2\right)^2\), cũng vô lí.
Do vậy, \(c=b\) hay \(a=2b+1\)
Từ đó \(b^2+4a+12=b^2+4\left(2b+1\right)+12\) \(=b^2+8b+16\) \(=\left(b+4\right)^2\) là SCP. Suy ra đpcm.
Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)
Dấu bằng xảy ra <=> a+b+c=0 hoặc \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
<=> a=b=c
Em tham khảo link:Câu hỏi của Conan Kudo - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Ta có bổ đề
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
ÁP DỤNG BỔ ĐỀ VÀO P ta có
\(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)
\(=abc.\frac{3}{abc}=3\)
Vậy P=3
Ta có:
a2 + b2 + c2
= a.a + b.b + c.c
= [a(a - 1) + a] + [b(b - 1) + b] + [c(c - 1) + c]
= [a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1)] + (a + b + c)
= [a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1)] + 2016
Vì tích 2 số nguyên liên tiếp luôn là 1 số chẵn nên a(a - 1); b(b - 1); c(c - 1) là các số chẵn.
=> a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1) là số chẵn.
Mà 2016 là số chẵn
Từ 2 điều trên => [a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1)] + 2016 là số chẵn
hay a2 + b2 + c2 là số chẵn (ĐPCM)
Ta có: \(m+n+p=2ma+2np+2pc\Rightarrow ma+np+pc=\frac{1}{2}\left(m+n+p\right)\)(1)
lại có:
\(\hept{\begin{cases}m=bn+cp\\n=am+cp\\p=am+bn\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}m-n=bn-am\\n-p=cp-bn\\p-m=am-cp\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m\left(a+1\right)=n\left(b+1\right)\\n\left(b+1\right)=p\left(c+1\right)\\p\left(c+1\right)=m\left(a+1\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{m\left(a+1\right)}=\frac{1}{n\left(b+1\right)}=\frac{1}{p\left(c+1\right)}=\frac{3}{ma+mb+mc+m+n+p}\)( Dãy tỉ số bằng nhau)
\(=\frac{3}{\frac{1}{2}\left(m+n+p\right)+n+m+p}=\frac{2}{n+m+p}\)
=> \(\frac{1}{a+1}=\frac{2m}{m+n+p}\)
\(\frac{1}{b+1}=\frac{2n}{m+n+p}\)
\(\frac{1}{c+1}=\frac{2p}{m+n+p}\)
=> \(A=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{2m+2n+2p}{m+n+p}=2\)
