Cho a,b la số nguyên dương. a+b=1
Tìm GTLN : Q=a/(1+2a) +b/(1+2b)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LP
3
16 tháng 2 2018
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có :
\(\frac{a}{1+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{1}+\frac{a}{2a}\right)=\frac{1}{4}\left(a+\frac{1}{2}\right)\)
\(\frac{b}{1+2b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{1}+\frac{b}{2b}\right)=\frac{1}{4}\left(b+\frac{1}{2}\right)\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{a}{1+2a}+\frac{b}{1+2b}\le\frac{1}{4}\left(a+b+1\right)=\frac{1}{4}.2=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
16 tháng 2 2018
\(\frac{a}{1}+\frac{a}{2b}\ge\frac{\left(2a\right)^2}{1+2b}=\frac{4a^2}{1+2b}.\)
hùng sai nhé phải là căn A nhé
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 7 2020
\(S\le\frac{a}{2a+2b+2c}+\frac{b}{2a+2b+2c}+\frac{c}{2a+2b+2c}=\frac{1}{2}\)
\(S_{max}=\frac{1}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
TD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 1 2022
\(\left\{{}\begin{matrix}a;b;c\ge0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\le0\Rightarrow a^2\le a\)
\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+3a+4}=\sqrt{a^2+a^2+3a+4}\le\sqrt{a^2+a+3a+4}=a+2\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow M\le a+2+b+2+c+2=7\)
\(M_{max}=7\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
28 tháng 4 2020
Đặt \(a=x^2;b=y^2;c=z^2\)khi đó ta được xyz=1 và biểu thức P viết được thành
\(P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2x^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\)
Ta có \(x^2+y^2\ge2xy;y^2+1\ge2y\Rightarrow x^2+2y^2+3\ge2\left(xy+y+1\right)\)
Do đó ta được \(\frac{1}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{xy+y+1}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{1}{y^2+2z^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{yz+z+1};\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{zx+z+1}\)
Cộng các vế BĐT trên ta được
\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)
Do xyz=1 nên ta được
\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=\frac{zx}{z+1+zx}+\frac{x}{1+zx+z}+\frac{1}{zx+x+1}=1\)
Từ đó ta được
\(P\le\frac{1}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
19 tháng 8 2019
Lời giải :
\(P=\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\)
\(P=\frac{1}{9}\cdot\left(\frac{9}{a+b+b}+\frac{9}{b+c+c}+\frac{9}{c+a+a}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy dạng \(\frac{9}{x+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)ta có :
\(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{c}+\frac{2}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\cdot9=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
19 tháng 8 2019
Theo Cauchy: \(\frac{1}{a+2b}=\frac{1}{a+b+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:
\(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy..
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 4 2022
\(A=\sqrt{2b\left(a+1\right)}+\sqrt{2c\left(b+1\right)}+\sqrt{2a\left(c+1\right)}\)
\(A=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4b\left(a+1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4c\left(b+1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4a\left(c+1\right)}\)
\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4b+a+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4c+b+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4a+c+1\right)\)
\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left[5\left(a+b+c\right)+3\right]=2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
4 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^2+2ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}+2ab^2=2a^2b+2ab^2\)
\(b^4+a^2+2a^2b\ge2\sqrt{a^2b^4}+2a^2b=2ab^2+2a^2b\)
\(\Rightarrow Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\)
Lại có: \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab-a+b^2-b=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab\ge1\\a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
Cách lầy nèk
\(Q=\frac{a}{1+2a}+\frac{b}{1+2b}\le\frac{a}{2\sqrt{2a}}+\frac{b}{2\sqrt{2b}}=\frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{2}}\)
\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{\frac{a}{2}}+\sqrt{\frac{b}{2}}}{2\sqrt{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}}\le\frac{\frac{a+\frac{1}{2}}{2}+\frac{b+\frac{1}{2}}{2}}{2}=\frac{a+b+1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Có a+b =1
Áp dụng bất đẳng thức cô-si
=> ab= \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\)
<=> ab= \(\frac{1}{2}\)
P=\(\frac{\left(ab+a+ab+b\right)}{\left(ab+a+b+1\right)}\)
= \(\frac{\left(2ab+1\right)}{\left(ab+2\right)}\)
=\(\frac{\left[\left(2ab+4\right)-3\right]}{\left(ab+2\right)}\)
=\(2+\left[\frac{-3}{\left(ab+2\right)}\right]\)
Có ab = \(\frac{1}{2}\)
\(ab+2\Leftarrow\frac{5}{2}\)
\(\frac{1}{\left(ab+2\right)}\ge\frac{2}{5}\)
\(\frac{-1}{\left(ab+2\right)}\Leftarrow\frac{-2}{5}\)
\(\frac{-3}{ \left(ab+2\right)}\Leftarrow\frac{-6}{5}\)
=> GTLN = \(\frac{-6}{5}+2=\frac{4}{5}\) tại \(a=b=\frac{1}{2}\)