Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a+b+c=\sqrt{6063}\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{2021}}+\dfrac{b}{\sqrt{2021}}+\dfrac{c}{\sqrt{2021}}=\sqrt{3}\)
Đặt \(\left(\dfrac{a}{\sqrt{2021}};\dfrac{b}{\sqrt{2021}};\dfrac{c}{\sqrt{2021}}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=\sqrt{3}\)
\(P=\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}+\dfrac{2y}{\sqrt{2y^2+1}}+\dfrac{2z}{\sqrt{2z^2+1}}\)
Ta có đánh giá:
\(\dfrac{x}{\sqrt{2x^2+1}}\le\dfrac{3\sqrt{15}x+2\sqrt{5}}{25}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(\sqrt{3}x-1\right)^2\left(9x^2+10\sqrt{3}x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự và cộng lại:
\(P\le\dfrac{6\sqrt{15}\left(x+y+z\right)+12\sqrt{5}}{25}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\)
Bunyakovsky:
\(P^2=\left(\sqrt{a+2b+3c}+\sqrt{b+2c+3a}+\sqrt{c+2a+3b}\right)^2\)
\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+2b+3c+b+2c+3a+c+2a+3b\right)\)
\(=3.6\left(a+b+c\right)=18\)
\(P\le\sqrt{18}\)
"=" khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
xin lỗi nha MÌNH sai đề ở chổ \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
Cho a+b+c=3 và a,b>0 Tìm GTLN của \(\sqrt{3a^2+8ab+5b^2}+\sqrt{3b^2+8bc+5c^2}+\sqrt{3c^2+8ca+5a^2}\)
Chú ý: \(\left(a^2+2b^2+c^2\right)\left(2^2+1^2+2^2\right)\ge\left(2a+2b+2c\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+2b^2+c^2\ge\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{9}\Rightarrow\sqrt{a^2+2b^2+c^2}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{b^2+2c^2+a^2}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\); \(\sqrt{c^2+2a^2+b^2}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)
Thay vào ta có: \(VT\le\frac{3\left(3a+b+3b+c+3c+a\right)}{2\left(a+b+c\right)}=6\)(qed)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Is that true?
Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được:
\(\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}\right)^2\le3\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{\left(3a+b\right)^2}{a^2+2b^2+c^2}\right)\)
Mặt khác cũng theo bđt Bunhiacopxki dạng phân thức, ta được:
\(\frac{\left(3a+b\right)^2}{a^2+2b^2+c^2}\le\frac{9a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2}=\frac{9a^2}{a^2+b^2+c^2}+1\)
Hoàn toàn tương tự, ta có:
\(\frac{\left(3b+c\right)^2}{b^2+2c^2+a^2}\le\frac{9b^2}{b^2+c^2+a^2}+1\);\(\frac{\left(3c+a\right)^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{9c^2}{c^2+a^2+b^2}+1\)
Cộng từng vế của các bđt trên, ta được:
\(\text{}\text{}\text{Σ}_{cyc}\frac{\left(3b+c\right)^2}{b^2+2c^2+a^2}\le\text{Σ}_{cyc}\frac{9b^2}{b^2+c^2+a^2}+3=9+3=12\)
Do đó \(\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}\right)^2\le3\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{\left(3a+b\right)^2}{a^2+2b^2+c^2}\right)\le3.12=36\)
Hay \(\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}\right)\le6\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
\(\left\{{}\begin{matrix}a;b;c\ge0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\le0\Rightarrow a^2\le a\)
\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+3a+4}=\sqrt{a^2+a^2+3a+4}\le\sqrt{a^2+a+3a+4}=a+2\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow M\le a+2+b+2+c+2=7\)
\(M_{max}=7\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị