![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có :
\(\frac{a}{1+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{1}+\frac{a}{2a}\right)=\frac{1}{4}\left(a+\frac{1}{2}\right)\)
\(\frac{b}{1+2b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{1}+\frac{b}{2b}\right)=\frac{1}{4}\left(b+\frac{1}{2}\right)\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{a}{1+2a}+\frac{b}{1+2b}\le\frac{1}{4}\left(a+b+1\right)=\frac{1}{4}.2=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
\(\frac{a}{1}+\frac{a}{2b}\ge\frac{\left(2a\right)^2}{1+2b}=\frac{4a^2}{1+2b}.\)
hùng sai nhé phải là căn A nhé
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải :
\(P=\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\)
\(P=\frac{1}{9}\cdot\left(\frac{9}{a+b+b}+\frac{9}{b+c+c}+\frac{9}{c+a+a}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy dạng \(\frac{9}{x+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)ta có :
\(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{c}+\frac{2}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\cdot9=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Theo Cauchy: \(\frac{1}{a+2b}=\frac{1}{a+b+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:
\(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy..
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^2;y^2;z^2\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(P=\sum\frac{1}{x^2+2y^2+3}=\sum\frac{1}{x^2+y^2+y^2+1+2}\le\frac{1}{2}\sum\frac{1}{xy+y+1}=\frac{1}{2}\)
\(P_{max}=\frac{1}{2}\) khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt cô si ta có:
\(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)
\(b^2+2c^2+3\ge2\left(bc+c+1\right)\)
\(c^2+2a^2+3\ge2\left(ac+a+1\right)\)
=> \(M\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{bcab+abc+ab}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{ab+b+1}{ab+b+1}=\frac{1}{2}\)
Bổ sung:
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Vậy GTLN của M = 1/2 tại a = b = c = 1.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(Q\le\sqrt{3\left(2a+2b+2c+ab+bc+ca\right)}\)
\(Q\le\sqrt{3\left(4+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)}=4\)
\(Q_{max}=4\) khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu này đơn giản !
Do a ,b là các số dương
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a+b>a+b\\2b+a>a+b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{2a+b}< \frac{a}{a+b}\\\frac{b}{2b+a}< \frac{b}{a+b}\end{cases}}\)
Cộng các vế tương ứng của các bất đẳng thức trên , ta có:
\(\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}=\frac{a+b}{a+b}=1\)
Vậy \(\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}< 1\)
Vì a,b dương nên:
\(\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}=1\)
Vậy \(\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+a}< 1\left(đpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét BĐT phụ: a2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2 lớn hơn bằng 2ab+2b+2 => 1/a^2+2b^2+3 nhỏ hơn bằng 1/2ab+2b+2
Tương tự mấy cái kia, cộng vào được:
VT<= 1/2(1/ab+b+1 + 1/bc+c+1 + 1/ac+a+1)
Vì abc=1 nên thay abc vào những chỗ có 1, thay abc vào phân số thứ nhất 1 lần, phân số thứ hai 2 lần, giữ nguyên phân số thứ 3 là 1/ac+a+1
Cuối cùng được: VT nhỏ hơn bằng (ac+a+1)/(ac+a+1)*1/2 =1/2 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Cách lầy nèk
\(Q=\frac{a}{1+2a}+\frac{b}{1+2b}\le\frac{a}{2\sqrt{2a}}+\frac{b}{2\sqrt{2b}}=\frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{2}}\)
\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{\frac{a}{2}}+\sqrt{\frac{b}{2}}}{2\sqrt{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}}\le\frac{\frac{a+\frac{1}{2}}{2}+\frac{b+\frac{1}{2}}{2}}{2}=\frac{a+b+1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Có a+b =1
Áp dụng bất đẳng thức cô-si
=> ab= \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\)
<=> ab= \(\frac{1}{2}\)
P=\(\frac{\left(ab+a+ab+b\right)}{\left(ab+a+b+1\right)}\)
= \(\frac{\left(2ab+1\right)}{\left(ab+2\right)}\)
=\(\frac{\left[\left(2ab+4\right)-3\right]}{\left(ab+2\right)}\)
=\(2+\left[\frac{-3}{\left(ab+2\right)}\right]\)
Có ab = \(\frac{1}{2}\)
\(ab+2\Leftarrow\frac{5}{2}\)
\(\frac{1}{\left(ab+2\right)}\ge\frac{2}{5}\)
\(\frac{-1}{\left(ab+2\right)}\Leftarrow\frac{-2}{5}\)
\(\frac{-3}{ \left(ab+2\right)}\Leftarrow\frac{-6}{5}\)
=> GTLN = \(\frac{-6}{5}+2=\frac{4}{5}\) tại \(a=b=\frac{1}{2}\)