Question

[Khiêm Nguyễn Gia]

Tìm các số nguyên \(x,y\) thỏa mãn \(3^x-y^3=1\)

Answer 1

[Lê Song Phương]

Xét \(x=0\Rightarrow y=0\), \(x=1\Rightarrow y^3=2\), vô lí. \(x=2\Rightarrow y=2\).

Với \(x\ge3\), ta viết lại pt đã cho như sau:

\(y^3=3^x-1\). 

Ta thấy \(y\equiv2\left[3\right]\) \(\Rightarrow y=3z-1\left(z\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow\left(3z-1\right)^3=3^x-1\) 

\(\Leftrightarrow27z^3-27z^2+9z-1=3^x-1\)

\(\Leftrightarrow27z^3-27z^2+9z=3^x\)

\(\Leftrightarrow9z^3-9z^2+z=3^{x-2}\) 

\(\Leftrightarrow z\left(9z^2-9z+1\right)=3^{x-2}\)

Do \(9z^2-9z+1⋮̸3\)  nên \(\left\{{}\begin{matrix}z=3^{x-2}\\9z^2-9z+1=1\end{matrix}\right.\), vô lí do \(z\inℕ^∗\)

Vậy với \(x\ge3\) thì pt đã cho không có nghiệm nguyên.

Do đó pt đã cho có cặp nghiệm nguyên \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(2;2\right)\right\}\)

Answer 2

[Nguyễn Xuân Thành]

- Nếu x < 0 => y không nguyên

- Nếu x = 0 => y = 0

- Nếu x = 1 => y không nguyên 

- Nếu x = 2 => y = 2 

- Nếu x > 2 pt => 3x = y3 + 1 ( Vì x > 2 => y3 > 9 ) 

Ta suy ra $y^3+1⋮9\Rightarrow y^3÷9$dư 1 

$\Rightarrow y=9k+2$hoặc  $y=9k+5$hoặc  $y=9k+8$( k là số nguyên dương ) (1) 

Mặt khác, ta cũng có $y^3+1⋮3$

$\Rightarrow y=3m+2$( m nguyên dương ) (2)

Từ (1) và (2) => vô nghiệm ( Vì từ (2) $\Rightarrow y=9n+6$không thỏa (1) )

Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm nguyên không âm là ( 0;0 ) và ( 2;2 )