Cho x + y = 2. Chứng minh rằng xy \(\le\) 1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 10 2021
Áp dụng BĐT cosi: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow2\ge2\sqrt{xy}\\ \Leftrightarrow\sqrt{xy}\le1\\ \Leftrightarrow xy\le1\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=1\)
TB
1
1 tháng 3 2021
Áp dụng BĐT cosi:
`(y-1)+1>=2\sqrt{y-1}`
`=>\sqrt{y-1}<=y/2`
`=>x\sqrt{y-1}<=(xy)/2`
Hoàn toàn tương tự:
`\sqrt{x-1}<=x/2`
`=>y\sqrt{x-1}<=(xy)/2`
`=>x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}<=xy`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=2`
15 tháng 5 2015
x+y = 2 => y = 2- x
=> x.y = x.(2 - x) = - x2 + 2x
Xét x.y - 1 = - x2 + 2x - 1 = (-x2 + x) + (x - 1) = - x.(x - 1) + (x - 1) = (x - 1).(-x + 1) = -(x-1).(x-1) = -(x-1)2 \(\le\) 0 với mọi x
=> xy - 1 \(\le\) 0 <=> x.y \(\le\) 1
MT
1 tháng 10 2015
\(\text{Ta có: }x+y=2\Rightarrow x=2-y\text{ }\)
\(\Rightarrow xy=\left(2-y\right).y=2y-y^2=-y^2+2y-1+1\)
\(=-\left(y^2-2y+1\right)+1=-\left(y^2-y-y+1\right)+1\)
\(=-\left[y.\left(y-1\right)-\left(y-1\right)\right]+1=-\left(y-1\right)\left(y-1\right)+1=-\left(y-1\right)^2+1\)
\(\text{Vì }\left(y-1\right)^2\ge0\text{ nên: }-\left(y-1\right)^2\le0\Rightarrow-\left(y-1\right)^2+1\le1\)
\(\text{Vậy }xy\le1\text{ tại }y-1=0\Rightarrow y=1\Rightarrow x=2-1=1\)
27 tháng 5 2015
đặt x=1 + m ; y = 1-m thì x+y=2
ta có xy=(1+m)(1-m) = 1 - \(m^2\)< hoặc = 1( vì m^2 > hoặc = 0)(dấu = <=> x=y=1)
T
14 tháng 5 2019
Câu hỏi của Kaitou Kid(Kid-sama) - Toán lớp 7 . Bạn check thử cái cách "Bài này lớp 7 dư sức giải..." nhé! Mình đọc nhiều đề thi hsg để tự luyện thấy lời giải của họ như vậy (không có chỗ dấu "=" xảy ra nha,cái chỗ này mình tự thêm) .Không biết đúng hay sai.Còn mấy cách kia là mình tự làm nhé!
V
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 6 2019
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{1}{4xy}\)
\(A\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(A\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=7\)
Dấu "=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
LT
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 12 2018
Do \(x,y>0\) BĐT tương đương:
\(\dfrac{x^2+2y^2+3}{2}\ge xy+y+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+2y^2+3\ge2xy+2y+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh xong
D
15 tháng 12 2018
Vì x,y>0 nên các mẫu thức dương.
BĐT<=>\(2\left(xy+y+1\right)\le x^2+2y^2+3\\ \Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\left(1\right)\)
(1) đúng với mọi x,y>0 nên BĐT đã cho được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=1.
17 tháng 6 2016
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
Đặt x = 1 + m ; y = 1 - m thì x + y = 1 + m + 1 - m = 2
Ta có xy = (1 + m) . (1 - m) = 1 . (1 - m) + m . (1 - m) = 1 - m + m - m2 = 1 - m2 \(\le\) 1 (vì m2 \(\ge\) 0).
Vậy suy ra điều phải chứng minh (dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\) m = 0 \(\Leftrightarrow\) x = y = 1)
X + y = 1 => ít nhất có1 số dương.
TH1 : 1 dương , 1 âm => xy < 0 < 1
TH2 : x > 0, y > 0
Ta có : x + y >= 2 nhân căn của (x.y)
Suy ra 2 >= 2 nhân căn của ( x.y )
Suy ra 1 >= căn của ( x.y ).
Vây x.y =< 1