K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 9 2016

H I O A B C M K

Dựng hình vẽ như trên. Dễ thấy O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => OA = OK và OM vuông góc BC

=> OM là đường trung bình của tam giác AHK => OM // AH và OM = 1/2AH

Dễ dàng chứng minh được O,I,H thẳng hàng và OH vuông góc OM , AH vuông góc HI

Ta có : \(\sqrt{\frac{OI^2+OM^2}{IH^2+HA^2}}=\sqrt{\frac{IM^2}{AI^2}}=\frac{IM}{AI}=\frac{1}{2}\)

18 tháng 9 2016

Cm OH vuong goc voi OM kieu j

2 tháng 9 2018

A B C O I H M N

Gọi N là trung điểm của AC. Nối N với O và M.

Do H là trực tâm \(\Delta\)ABC => ^BAH + ^ABC = 900 (1)

Dễ thấy MN là đường trung bình \(\Delta\)ABC => MN // AB => ^NMC = ^ABC (2)

Lại có: ^NMO + ^NMC = 900 (3)

Từ (1); (2) và (3) => ^BAH = ^NMO. Tương tự: ^ABH = ^MNO

=> \(\Delta\)AHB ~ \(\Delta\)MON (g.g) => \(\frac{AH}{MO}=\frac{AB}{MN}=2\)(Do MN là đg trung bình \(\Delta\)ABC)

\(\Rightarrow\frac{AH}{MO}=\frac{AI}{MI}=2\)(Vì I là trọng tâm và AM là trung tuyến \(\Delta\)ABC)

Xét \(\Delta\)AHI và \(\Delta\)MOI: ^HAI = ^OMI (Do AH // OM); \(\frac{AH}{MO}=\frac{AI}{MI}\)=> \(\Delta\)AHI ~ \(\Delta\)MOI (c.g.c)

\(\Rightarrow\frac{IH}{IO}=\frac{IA}{IM}=2\Rightarrow IH^2=4.IO^2\).Tương tự \(HA^2=4.OM^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{IO^2+OM^2}{IH^2+HA^2}}=\sqrt{\frac{IO^2+OM^2}{4\left(IO^2+OM^2\right)}}=\frac{1}{2}.\)

ĐS: 1/2.

5 tháng 12 2018

Dạ anh ơi, phiền anh câu này nữa ạ

Nguyễn Việt Lâm

Anh giúp em với, hai ngày nữa em thi HSG rồikhocroi

NV
5 tháng 12 2018

Bạn tự vẽ hình

O là giao điểm 3 đường trung trực =>O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Rightarrow OM\perp BC\)

H là trực tâm \(\Rightarrow AH\perp BC\Rightarrow\) AH//OM

Gọi N là trung điểm AC \(\Rightarrow\) MN//AB

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{OMN}\) (góc có cạnh tương ứng song song)

Tương tự ta có ON//BH \(\Rightarrow\widehat{ONM}=\widehat{ABH}\) (vẫn là góc có cạnh tương ứng song song)

\(\Rightarrow\Delta ABH\sim\Delta MNO\Rightarrow\dfrac{AH}{OM}=\dfrac{AB}{MN}\)

Mà MN là đường trung bình \(\Rightarrow MN=\dfrac{AB}{2}\Rightarrow\dfrac{AH}{OM}=2\Rightarrow AH=2OM\)

Lại có I là trọng tâm \(\Rightarrow\dfrac{IA}{IM}=2=\dfrac{AH}{OM}\Rightarrow\Delta AHI\sim\Delta MOI\) (hai tam giác có 2 cặp cạnh tương ứng bị lệ và 1 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{IH}{OI}=2\Rightarrow IH=2OI\)

Vậy \(\sqrt{\dfrac{OI^2+OM^2}{IH^2+AH^2}}=\sqrt{\dfrac{OI^2+OM^2}{\left(2OI\right)^2+\left(2OM\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\)

8 tháng 8 2023

A B C H M O E I G K

a/

O là giao 3 đường trung trực nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC

Nối AO cắt đường trong (O) tại E ta có

\(\widehat{ABE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow BE\perp AB\)

H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow CH\perp AB\)

=> BE//CH (1)

Ta có

\(\widehat{ACE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow CE\perp AC\)

H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow BH\perp AC\)

=> CE//BH (2)

Từ (1) và (2) => BHCE là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Do trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà G là trọng tâm tg ABC => M là trung điểm BC => M cũng là trung điểm của HE => MH = ME

Xét tg AHE có

MH=ME (cmt)

OA=OE

=> OM là đường trung bình của tg AHE \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\) 

b/ 

Ta có M là trung điểm của BC (cmt) => OM là đường trung trực của BC \(OM\perp BC\)

\(AH\perp BC\)

=> OM//AH 

Xét tg AGH có

IA=IG (gt)

KH=KG (gt)

=> IK là đường trung bình của tg AGK => IK//AH mà OM//AH (cmt)

=> IK//OM \(\Rightarrow\widehat{GIK}=\widehat{GMO}\) (góc so le trong) (4)

IK là đường trung bình của tg AGH \(\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}AH\) mà \(OM=\dfrac{1}{2}AH\) (cmt) => IK = OM (5)

G là trong tâm tg ABC => \(GM=\dfrac{1}{2}AG\) mà \(IG=\dfrac{1}{2}AG\)

=> IG=GM (6)

Từ (4) (5) (5) => tg IGK = tg MGO (c.g.c)

c/

Nối H với O cắt AM tại G' Xét tg AHE

MH=ME (cmt) => AM là trung tuyến của tg AHE

OA=OE => HO là trung tuyến của tg AHE

=> G' là trọng tâm của tg AHE \(\Rightarrow G'M=\dfrac{1}{3}AM\)

Mà G là trọng tâm của tg ABC \(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM\)

\(\Rightarrow G'\equiv G\) => H; G; O thẳng hàng

d/

Do G là trọng tâm của tg AHE => GH=2GO

 

 

 

 

 

5 tháng 4 2016

) Gọi M là trung điểm BC. Lấy điểm D sao cho O là trung điểm CD

Xét Δ BCD có M là trung điểm BC, O là trung điểm CD  OM là đường trung bình của Δ BCD

 OM=12DB và OM // DB 

mà OM⊥BC ( OM là đường trung trực của BC )  DB⊥BC

mà AH⊥BC( AH là đường cao của ΔABC )  AH // DB

Xét ΔABH và ΔBAD có

HABˆ=DBAˆ( 2 góc so le trong do AH // DB )

AB chung

ABHˆ=BADˆ( 2 góc so le trong do AH // DB )


ΔABH=ΔBAD( g-c-g )

 AH = BD mà OM=12DB  OM=12AH 

 AH = 2 OM ( đpcm )

b) Gọi G' là giao điển của AM và OH, P là trung điểm G'H, Q là trung điểm G'A

Xét Δ AG'H có P là trung điểm G'H, Q là trung điểm G'A  PQ là đường trung bình của \large\Delta AG'H 

PQ=12AH và PQ // AH

Do PQ=12AH mà OM=12AH PQ = OM

Do AH // OM ( cùng ⊥BC ) mà PQ // AH PQ // OM

Xét ΔPQG′ và ΔOMG′ có

PQG′ˆ=OMG′ˆ( 2 góc so le trong do PQ // OM)

PQ = OM (c/m trên )

QPG′ˆ=MOG′ˆ ( 2 góc so le trong do PQ //OM )


 ΔPQG′=ΔOMG′( g-c-g )

 G'Q = G'M và G'P = G'O

Ta có G'Q = G'M mà G′Q=12G′A( Q là trung điểm G'A )  G′M=12G′Amà G'M + G'A = AM 

 G′A=23AM mà AM là trung tuyến của ΔABC

 G' là trọng tâm của ΔABC ,mà G là trọng tâm của ΔABC G′≡ G

mà G′∈OH G∈OH  O, H, G thẳng hàng ( đpcm )

Hên xui nghe bạn ^ ^