Question

[Trương Tuấn Dũng]

Tìm GTNN của các biểu thức

a) \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\)

b) \(B=\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}\)

c) \(\left|x\right|\sqrt{1-x^2}\)

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

a ) Đặt \(A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\). Nhận xét A > 0

\(\Rightarrow A^2=\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)^2=2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\)

Vì \(\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\ge0\Rightarrow2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\ge2\Rightarrow A^2\ge2\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{2}\)(Vì A > 0)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}2\le x\le4\\\left(x-2\right)\left(4-x\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=2\\x=4\end{cases}}\)

Vậy ....

b) Tương tự .

c) Đề phải là tìm GTLN 

\(C=\left|x\right|\sqrt{1-x^2}=\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}\) . Áp dụng bđt Cauchy : \(\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}\le\frac{x^2+1-x^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x^2=1-x^2\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)hoặc \(x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Vậy ....

GTNN dễ thấy bằng 0 tại x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1 

Answer 2

[Thắng Nguyễn]

a)Ta cần chứng minh BĐT \(\sqrt{T}+\sqrt{H}\ge\sqrt{T+H}\)

2 vế luôn dương bình phương ta có:

\(\left(\sqrt{T}+\sqrt{H}\right)^2\ge\left(\sqrt{T+H}\right)^2\)

\(T+H+2TH\ge T+H\)

\(2TH\ge0\) (luôn đúng do \(TH\ge0\))

Dấu = xảy ra khi \(TH\ge0\)

Áp dụng ta có \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\ge\sqrt{x-2+4-x}=\sqrt{2}\)

Dấu = xảy ra khi (x-2)(4-x)\(\ge\)0 suy ra \(\orbr{\begin{cases}2\le0\le4\\\left(x-2\right)\left(4-x\right)=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=4\end{cases}}\)

Vậy ....

b) Áp dụng tương tự ta có:

\(\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}\ge\sqrt{7-x+x-5}=\sqrt{2}\)

Dấu = khi (7-x)(x-5)\(\ge\)0 suy ra \(\orbr{\begin{cases}x\le5\le7\\\left(7-x\right)\left(x-5\right)=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=7\\x=5\end{cases}}\)

Vậy...

c)Ta thấy \(\left|x\right|\sqrt{1-x^2}\ge0\)

Dấu = khi x=0 hoặc x=±1