Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
Tìm max:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(y^2=(3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x})^2\leq (3^2+4^2)(x-1+5-x)\)
\(\Rightarrow y^2\leq 100\Rightarrow y\leq 10\)
Vậy \(y_{\max}=10\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\sqrt{x-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-x}}{4}\Leftrightarrow x=\frac{61}{25}\)
Tìm min:
Ta có bổ đề sau: Với $a,b\geq 0$ thì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)
Chứng minh:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geq a+b\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{ab}\geq 0\) (luôn đúng).
Dấu "=" xảy ra khi $ab=0$
--------------------
Áp dụng bổ đề trên vào bài toán ta có:
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\geq \sqrt{(x-1)+(5-x)}=2\)
\(\sqrt{5-x}\geq 0\)
\(\Rightarrow y=3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})+\sqrt{5-x}\geq 3.2+0=6\)
Vậy $y_{\min}=6$
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (x-1)(5-x)=0\\ 5-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=5\)
Bài 2:
\(A=\sqrt{(x-1994)^2}+\sqrt{(x+1995)^2}=|x-1994|+|x+1995|\)
Áp dụng BĐT dạng \(|a|+|b|\geq |a+b|\) ta có:
\(A=|x-1994|+|x+1995|=|1994-x|+|x+1995|\geq |1994-x+x+1995|=3989\)
Vậy \(A_{\min}=3989\)
Đẳng thức xảy ra khi \((1994-x)(x+1995)\geq 0\Leftrightarrow -1995\leq x\leq 1994\)
2/
a) Ta có:
\(3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot2}=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{18}\)
\(2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\cdot3}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt{12}\)
Mà: \(12< 18\Rightarrow\sqrt{12}< \sqrt{18}\Rightarrow2\sqrt{3}< 3\sqrt{2}\)
b) Ta có:
\(4\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{4^3\cdot5}=\sqrt[3]{320}\)
\(5\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{5^3\cdot4}=\sqrt[3]{500}\)
Mà: \(320< 500\Rightarrow\sqrt[3]{320}< \sqrt[3]{500}\Rightarrow4\sqrt[3]{5}< 5\sqrt[3]{4}\)
3/
a)ĐKXĐ: \(x\ne1;x\ge0\)
b) \(A=\left(1-\dfrac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\left(1+\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)
\(A=\left[1-\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}\right]\left[1+\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\right]\)
\(A=\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)\)
\(A=1^2-\left(\sqrt{x}\right)^2\)
\(A=1-x\)
a: \(P=\dfrac{x-2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
b:Sửa đề: 2A
2A=2căn x+5
=>(2căn x+2)/căn x=2căn x+5
=>2x+5căn x-2căn x-2=0
=>2x+3căn x-2=0
=>(căn x+2)(2căn x-1)=0
=>x=1/4
\(a,\dfrac{3}{\sqrt{12x-1}}\) xác định \(\Leftrightarrow12x-1>0\Leftrightarrow12x>1\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{12}\)
\(b,\sqrt{\left(3x+2\right)\left(x-1\right)}\) xác định \(\Leftrightarrow\left(3x+2\right)\left(x-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}3x+2\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}3x+2\le0\\x-1\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x\ge-\dfrac{2}{3}\\x\ge1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x\le-\dfrac{2}{3}\\x\le1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-\dfrac{2}{3}\\x\ge1\end{matrix}\right.\)
\(c,\sqrt{3x-2}.\sqrt{x-1}\) xác định \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-2\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{2}{3}\\x\ge1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x\ge1\)
\(d,\sqrt{\dfrac{-2\sqrt{6}+\sqrt{23}}{-x+5}}\) xác định \(\Leftrightarrow-x+5>0\Leftrightarrow x< 5\)
Lời giải:
\(P=\left[\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}+\frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\right]:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(=\left[\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right].\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)
b. Áp dụng BĐT AM-GM
\(M=P\sqrt{x}=\frac{x}{\sqrt{x}-1}=\frac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=(\sqrt{x}-1)+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+2\geq 2\sqrt{(\sqrt{x}-1).\frac{1}{\sqrt{x}-1}}+2=2+2=4\)
Vậy $M_{\min}=4$ khi $\sqrt{x}-1=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$
$\Rightarrow \sqrt{x}-1=0$
$\Leftrightarrow x=1$
a ) Đặt \(A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\). Nhận xét A > 0
\(\Rightarrow A^2=\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)^2=2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\)
Vì \(\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\ge0\Rightarrow2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\ge2\Rightarrow A^2\ge2\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{2}\)(Vì A > 0)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}2\le x\le4\\\left(x-2\right)\left(4-x\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=2\\x=4\end{cases}}\)
Vậy ....
b) Tương tự .
c) Đề phải là tìm GTLN
\(C=\left|x\right|\sqrt{1-x^2}=\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}\) . Áp dụng bđt Cauchy : \(\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}\le\frac{x^2+1-x^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x^2=1-x^2\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)hoặc \(x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Vậy ....
GTNN dễ thấy bằng 0 tại x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1
a)Ta cần chứng minh BĐT \(\sqrt{T}+\sqrt{H}\ge\sqrt{T+H}\)
2 vế luôn dương bình phương ta có:
\(\left(\sqrt{T}+\sqrt{H}\right)^2\ge\left(\sqrt{T+H}\right)^2\)
\(T+H+2TH\ge T+H\)
\(2TH\ge0\) (luôn đúng do \(TH\ge0\))
Dấu = xảy ra khi \(TH\ge0\)
Áp dụng ta có \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\ge\sqrt{x-2+4-x}=\sqrt{2}\)
Dấu = xảy ra khi (x-2)(4-x)\(\ge\)0 suy ra \(\orbr{\begin{cases}2\le0\le4\\\left(x-2\right)\left(4-x\right)=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=4\end{cases}}\)
Vậy ....
b) Áp dụng tương tự ta có:
\(\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}\ge\sqrt{7-x+x-5}=\sqrt{2}\)
Dấu = khi (7-x)(x-5)\(\ge\)0 suy ra \(\orbr{\begin{cases}x\le5\le7\\\left(7-x\right)\left(x-5\right)=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=7\\x=5\end{cases}}\)
Vậy...
c)Ta thấy \(\left|x\right|\sqrt{1-x^2}\ge0\)
Dấu = khi x=0 hoặc x=±1