Question

[nguyễn thu hà]

Bài 2: Cho (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho CA < CB. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt tia BA tại M. Đường thẳng qua điểm M vuông góc với AB cắt tia BC tại D.

a) Chứng minh: Tứ giác AMDC nội tiếp.

b) Đường thẳng qua điểm C song song với MD cắt AB tại I và cắt (O) tại E (E khác C).

Chứng minh: CA là tia phân giác của góc MCE

c) Chứng minh: AE.AM= AD.AI và ba đường DM, BE, CA đồng quy.

Answer 1

[Nguyễn Huy Tú]

a, Ta có ^ACB = 90⁰ ( góc nt chắn nửa đường tròn ) 

Xét tứ giác AMDC có 

^AMD + ^ACB = 180⁰ mà 2 góc này đối 

Vậy tứ giác AMDC nt 1 đường tròn 

b, Ta có ^MCA = ^MDA ( góc nt chắn cung MA của tứ giác ACDM ) (1) 

Lại có ^ACE = ^ABE ( góc nt chắn cung AE ) (2) 

mà ^AEB = 90⁰ ( góc nt chắc nửa đường tròn ) 

Xét tứ giác MDBE có 

^DMB = ^DEB = 90⁰

mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh BD 

Vậy tứ giác MDBE là tứ giác nt 1 đường tròn 

=> ^MDE = ^MBE ( góc nt chắc cung ME ) (3) 

Từ (1) ; (2) ; (3) suy ra ^MCA = ^ICA 

=> CA là phân giác ^MCI 

c, Xét tam giác DAM và tam giác EAI ta có 

^DAM = ^EAI ( đối đỉnh ) 

^ADM = ^AEI ( so le trong vì BE // DM ) 

Vậy tam giác DAM ~ tam giác EAI (g.g) 

\(\frac{AM}{AI}=\frac{AD}{AE}\Rightarrow AM.AE=AD.AI\)