Cho x^2+y^2=1 và b.x^2=a.y^2.Chứng minh rằng x^2020/a^1010+y^2020/b^1010=2/(a+b)^1010
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 1 2020
Lời giải:
Đặt $\frac{x+y}{x-y}=a; \frac{y+z}{y-z}=b; \frac{z+x}{z-x}=c$
Bằng phép biến đổi tương đương cơ bản, ta chỉ ra được:
$ab+bc+ac=-1$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=-2$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2+2\geq 2$
Ta sẽ đi chứng minh $a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}>\frac{2^{1010}{3^{1009}}$
-------------------------------------------
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:
\(\frac{a^{2020}}{a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3}\geq 1010\sqrt[1010]{\frac{a^{2020}}{(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}).3^{1009}}}\)
\(\frac{b^{2020}}{a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3}\geq 1010\sqrt[1010]{\frac{b^{2020}}{(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}).3^{1009}}}\)
\(\frac{c^{2020}}{a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3}\geq 1010\sqrt[1010]{\frac{c^{2020}}{(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}).3^{1009}}}\)
Cộng theo vế và thu gọn: $a^2+b^2+c^2\leq \sqrt[1010]{(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}).3^{1009}}$
$\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^{1010}}{3^{1009}}\geq \frac{2^{1010}}{3^{1009}}$ do $a^2+b^2+c^2\geq 2$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ và $a^2+b^2+c^2=2$. Điều này không được vì $x,y,z$ đôi một khác nhau làm $a,b,c$ đôi một khác nhau
Ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2019
\(2a^{2020}+2b^{2020}+2c^{2020}-2\left(ab\right)^{1010}-2\left(bc\right)^{1010}-2\left(ca\right)^{1010}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^{1010}-b^{1010}\right)^2+\left(b^{1010}-c^{1010}\right)^2+\left(c^{1010}-a^{1010}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^{1010}-b^{1010}=0\\b^{1010}-c^{1010}=0\\c^{1010}-a^{1010}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\)
Nếu đề không cho a;b;c dương thì không tính được cụ thể giá trị A
Nếu a;b;c dương thì \(a=b=c\Rightarrow A=0\)
9 tháng 4 2020
\(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}=a^{1010}b^{1010}+b^{1010}c^{1010}+c^{1010}a^{1010}\)
\(\Leftrightarrow a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}-a^{1010}b^{1010}-b^{1010}c^{1010}-c^{1010}a^{1010}=0\)
\(\Leftrightarrow2a^{2020}+2b^{2020}+2c^{2020}-2a^{1010}b^{1010}-2b^{1010}c^{1010}-2a^{1010}c^{1010}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^{2020}-2a^{1010}b^{1010}+b^{2020}\right)+\left(b^{2020}-2b^{1010}c^{1010}+c^{2020}\right)+\left(c^{2020}-2a^{1010}c^{1010}+a^{2020}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^{1010}-b^{1010}\right)^2+\left(b^{1010}-c^{1010}\right)^2+\left(c^{1010}-a^{1010}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a^{1010}-b^{1010}\right)=0\\b^{1010}-c^{1010}=0\\c^{1010}-a^{1010}=0\end{cases}}\Leftrightarrow a^{1010}=b^{1010}=c^{1010}\Leftrightarrow\pm a=\pm b=\pm c\)
Rồi thay :> Còn thay kiểu nào thì mình cũng hong biết :">
\(bx^2=ay^2\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a}=\dfrac{y^2}{b}\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{a}\right)^{1010}=\left(\dfrac{y^2}{b}\right)^{1010}\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^{2020}}{a^{1010}}=\dfrac{y^{2020}}{a^{1010}}\)
Áp dụng t/c dtsbn:
\(\dfrac{x^{2020}}{a^{1010}}=\dfrac{y^{2020}}{b^{1010}}=\dfrac{x^{2020}+y^{2020}}{a^{1010}+b^{1010}}\left(3\right)\)
Đặt \(\dfrac{x^2}{a}=\dfrac{y^2}{b}=k\Leftrightarrow x^2=ak;y^2=bk\)
\(x^2+y^2=1\Leftrightarrow ak+bk=1\Leftrightarrow k\left(a+b\right)=1\Leftrightarrow a+b=\dfrac{1}{k}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{\left(a+b\right)^{1010}}=\dfrac{2}{\left(\dfrac{1}{k}\right)^{1010}}=2:\dfrac{1}{k^{1010}}=k^{1010}\left(1\right)\)
Mà \(\dfrac{x^{2020}}{a^{1010}}=\dfrac{\left(x^2\right)^{1010}}{a^{1010}}=\dfrac{a^{1010}k^{1010}}{a^{1010}}=k^{1010}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\) ta được đpcm