cho a>0,b>0,c>0. chứng minh : \(a^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 11 2016
d/ Đặt \(x=a+b\) , \(y=b+c\) , \(z=c+a\)
thì : \(a=\frac{x+z-y}{2}\) ; \(b=\frac{x+y-z}{2}\) ; \(c=\frac{y+z-x}{2}\)
Ta có : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{\frac{x+z-y}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y-z}{2}}{z}+\frac{\frac{y+z-x}{2}}{x}\)
\(=\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}-3\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{1}{2}.6-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
9 tháng 11 2016
b/ \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2abc+c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc+a^2\right)+\left(c^2a^2-2abc+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-c\right)^2+\left(bc-a\right)^2+\left(ca-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy bđt ban đầu dc chứng minh.
DT
7 tháng 4 2018
\(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2.\)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 6 số \(a^2,b^2,c^2,a^2b^2,b^2c^2,a^2c^2\)ta được
\(a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge6\sqrt[6]{a^2.b^2.c^2.a^2b^2.b^2c^2.a^2c^2}=6\sqrt[6]{a^6.b^6.c^6}=6.abc\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2020
d/ \(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
e/ \(\Leftrightarrow a^6+b^6+a^5b+ab^5\ge a^6+b^5+a^4b^2+a^2b^4\)
\(\Leftrightarrow a^5b-a^4b^2+ab^5-a^2b^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4b\left(a-b\right)-ab^4\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
f/ \(\frac{a^6}{b^2}+a^2b^2\ge2\sqrt{\frac{a^8b^2}{b^2}}=2a^4\) ; \(\frac{b^6}{a^2}+a^2b^2\ge2b^4\)
\(\Rightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge2a^4+2b^4-2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge a^4+b^4+\left(a^4+b^4-2a^2b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge a^4+b^4+\left(a^2-b^2\right)^2\ge a^4+b^4\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2020
a/ \(VT=a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\)
\(VT=a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(VT\ge6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6\left|abc\right|\ge6abc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b/ \(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)
c/ \(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3}{2}\ge\frac{a^3+b^3+3a^2b+3ab^2}{8}\)
\(\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
12 tháng 9 2016
Ta có : \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2abc+b^2c^2\right)+\left(b^2-2abc+a^2c^2\right)+\left(c^2-2abc+a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-bc\right)^2+\left(b-ac\right)^2+\left(c-ab\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh
DA
11 tháng 12 2017
a2(1+b2) + b2(1+c2) + c2(1+a2) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + a2c2
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 6 số không âm a2, a2b2, b2, b2c2, c2, a2c2 ta được:
a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + a2c2 >= 6\(\sqrt{a^6b^6c^6}\)= 6abc
=> a2(1+b2) + b2(1+c2) + c2(1+a2) >= 6abc
Dấu = xảy ra khi
a2=a2b2=b2=b2c2=c2=a2c2
a=b=c=+-1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 1 2021
\(\Leftrightarrow1+b^2+a^2\left(b^3+b\right)\le\left(2b^3+2\right)a^2-2\left(b^3+1\right)a+2b^3+2\)
\(\Leftrightarrow\left(b^3-b+2\right)a^2-2\left(b^3+1\right)a+2b^3-b^2+1\ge0\)
Xét tam thức bậc 2: \(f\left(a\right)=\left(b^3-b+2\right)a^2-2\left(b^3+1\right)a+2b^3-b^2+1\)
Ta có: \(b^3+2-b\ge3b-b=2b>0\)
\(\Delta'=\left(b^3+1\right)^2-\left(b^3-b+2\right)\left(2b^3-b^2+1\right)\)
\(\Delta'=-\left(b-1\right)^2\left(b^4+b^3-b^2+b+1\right)\le0\) ; \(\forall b>0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)\ge0\) ; \(\forall a\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(1;1\right)\)
GH
18 tháng 6 2023
Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\) khi đó thu được \(xyz=1\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{a^2\left(b+c\right)}=\dfrac{x^2}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\dfrac{x^2yz}{y+z}=\dfrac{x}{y+z}\)
BĐT cần chứng minh được viết lại thành:\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{z+x}+1\right)+\left(\dfrac{z}{x+y}+1\right)\ge\dfrac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{x+y}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)
Đánh giá cuối cùng đúng theo BĐT Cauchy
Vậy BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
+ \(c^2+1\ge2c\) \(\forall c\)
\(\Rightarrow a^2\left(c^2+1\right)\ge2a^2c\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)
+ Tương tự ta có :
\(c^2\left(b^2+1\right)\ge2bc^2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)
\(b^2\left(a^2+1\right)\ge2ab^2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
do đó : \(a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(b^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)\)
\(\ge2\left(a^2c+bc^2+ab^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số dương \(a^2c;bc^2;ab^2\) ta có :
\(a^2c+bc^2+ab^2\ge3\sqrt[3]{a^2c\cdot bc^2\cdot ab^2}=3abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2c=bc^2=ab^2\Leftrightarrow a=b=c\)
Do đó : \(a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(c^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)\)
\(\ge2\cdot3abc=6abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Nghĩ đơn giản ra
VT = a2 + c2a2 + c2 + b2c2 + b2 + a2b2 ≥ \(6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}\) = 6abc