Cho x,y>0 và x+y\(\le1\)
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^3+xy}\ge3 \)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TL
2
30 tháng 9 2015
xy = 1 => \(\left(x+y\right)^2\ge4xy=4.1=4\Rightarrow x+y\ge2\)
Ta CM BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ( dễ dàng cm đc bằng cách xét hiệu )
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge\frac{4}{x+y}+\frac{2}{x+y}=\frac{6}{x+y}\)\(=\frac{6}{2}=3\)
dấu bằng của BĐT xảy ra khi x = y = 1
30 tháng 9 2015
Lời giải bạn Thắng bị sai.
Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{xy}+\frac{2}{x+y}=\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{2}+\left(\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\right).\)
Theo bất đẳng thức Cô-Si \(\frac{x+y}{2}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{2}=1,\) và \(\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge2\sqrt{\frac{x+y}{2}\cdot\frac{2}{x+y}}=2.\) Suy ra
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge1+2=3.\)
HD
1
11 tháng 6 2018
Đặt: \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\)
Ta có: \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{xy}{x}+\frac{xy}{y}+\frac{2}{x+y}\left(\text{Do: xy = 1}\right)\)
\(=x+y+\frac{2}{x+y}\)
\(=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)
Đặt: \(B=\frac{x+y}{2};C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)
\(\Rightarrow A=B+C\)
Vì x, y > 0, áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
\(\Rightarrow B=\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}=\sqrt{1}=1\) (1)
Ta có: x, y > 0 => x + y > 0
Áp dụng BĐT \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) với hai số dương x + y và 2
\(\Rightarrow C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge2\) (2)
\(\text{Từ (1); (2) }\Rightarrow B+C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge1+2\)
\(\Rightarrow A\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge3\)
=> ĐPCM
NT
0
25 tháng 1 2018
Đặt : A = 1/x^2+xy + 1/y^2+xy
Có : A = 1/x.(x+y) + 1/y.(x+y) = 1/x + 1/y ( vì x+y = 1 )
Áp dụng bđt 1/a + 1/b >= 4/a+b với mọi a,b > 0 cho x,y > 0 thì :
A >= 4/x+y = 4/1 = 4
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2
=> ĐPCM
Tk mk nha
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 1 2020
Vì đã khuya nên não cũng không còn hoạt động tốt nữa, mình làm bài 1 thôi nhé.
Bài 1:
a)
\(2\text{VT}=\sum \frac{2bc}{a^2+2bc}=\sum (1-\frac{a^2}{a^2+2bc})=3-\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1\)
Do đó: \(2\text{VT}\leq 3-1\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
b)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left(\frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ab^2}{b^2}\right)\)
\(=\frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{16}(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2)}\leq \frac{3}{16}(a+b+c)(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{4}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 1 2020
Lý giải xíu chỗ $3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$ cho bạn nào chưa rõ:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^3+ac^2)+(b^3+a^2b)+(c^3+b^2c)+(ab^2+bc^2+ca^2)$
$\geq 2a^2c+2ab^2+2bc^2+(ab^2+bc^2+ca^2)=3(ab^2+bc^2+ca^2)$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 3 2020
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)
\(VT=\sum\frac{\sqrt{1+a^6+b^6}}{a^3b^3}\ge\sum\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{a^6b^6}}}{a^3b^3}=\sqrt{3}\left(\frac{1}{a^2b^2}+\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{c^2a^2}\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2.b^2c^2.c^2a^2}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=1\)
