K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

31 tháng 1 2015

Áp dụng bđt : Với a>0 ; b>0 thì 1/b + 1/b >=4/(a+b) ta có :

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( vì 0 = < x + y <=1)

25 tháng 1 2018

Đặt : A = 1/x^2+xy + 1/y^2+xy

Có : A = 1/x.(x+y) + 1/y.(x+y) = 1/x + 1/y ( vì x+y = 1 )

Áp dụng bđt 1/a + 1/b >= 4/a+b với mọi a,b > 0 cho x,y > 0 thì :

A >= 4/x+y = 4/1 = 4

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2

=> ĐPCM

Tk mk nha

6 tháng 4 2018

ta chứng minh BĐT phụ sau:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)  cái này thì bạn tự cm nhé

Áp dụng BĐT trên

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

Mà \(x+y\le1\Rightarrow\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\left(đpcm\right)\)

6 tháng 4 2018

Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki dạng phân thức: (ko cần CM) Với a, b, x, y thuộc R thì \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Áp dụng bất đăng thức Bu-nhi-a-cốp-xki dạng phân thức ta có:

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\) (1)

Ta lại có: x + y <= 1 => (x + y)2 <= 1

=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\)

=> đpcm

28 tháng 2 2018

Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương a,b ta có \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2.\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=>\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}\)

suy ra \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\).Áp dụng vào bài toán ta có :\(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\ge\dfrac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\) (Do \(x+y\le1\))

28 tháng 2 2018

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{4}{1}=4\)

23 tháng 10 2020

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

Cần chỉ ra \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

Ta có : \(x+y\le1\)

=> \(\left(x+y\right)^2\le1\)

=> \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge1\)( nghịch đảo )

=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( nhân 4 vào cả hai vế )

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2

6 tháng 1 2021
Bạn tham khảo nhé!

Bài tập Tất cả

Bài tập Tất cả

NM
6 tháng 1 2021

Xét \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}=\frac{1-y}{y^3-1}+\frac{1-x}{x^3-1}=-\frac{1}{x^2+x+1}-\frac{1}{y^2+y+1}\)

\(=-\frac{x^2+y^2+x+y+2}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}=-\frac{x^2+y^2+3}{x^2y^2+xy\left(x+y\right)+x^2+y^2+xy+x+y+1}\)

\(=-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+3}{x^2y^2+x^2+y^2+2xy+2}=-\frac{4-2xy}{x^2y^2+3}=\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}\)

từ đó ta có đpcm

15 tháng 5 2020

Bài 3 thì \(\le1\)

Bài 4 thì \(\ge\frac{3}{4}\) nhé

29 tháng 11 2016

(chứng minh rằng\) x y 3 −1 - Online Math

13 tháng 5 2020

Ta có \(y^3-1=\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)=-x\left(y^2+y+1\right)\)

(vì \(xy\ne0\Rightarrow x,y\ne0\))

\(\Rightarrow x-1\ne0;y-1\ne0\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y^3-1}=\frac{-1}{y^2+y+1}\)

\(x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2-x+1\right)=-y\left(x^2-x+1\right)\Rightarrow\frac{y}{x^3-1}=\frac{-1}{x^2+x+1}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}=\frac{-1}{y^2+y+1}+\frac{-1}{x^2+x+1}\)

\(=-\left(\frac{x^2+x+1+y^2+y+1}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}\right)=-\left(\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+\left(x+y\right)+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+xy\left(x+y\right)+xy+\left(x+y\right)+1}\right)\)

\(=-\frac{4-2xy}{x^2y^2+3}\Rightarrow\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}-\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}=0\)

7 tháng 6 2021

\(\dfrac{x-y}{z^2+1}=\dfrac{x-y}{z^2+xy+yz+zx}=\dfrac{x-y}{z\left(z+y\right)+x\left(z+y\right)}=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{y-z}{x^2+1}=\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\);\(\dfrac{z-x}{y^2+1}=\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

\(=\dfrac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)(đpcm)