K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 6 2017

\(\Sigma\left(\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma\left(1-\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\right)\le3\)

\(\Leftrightarrow\Sigma\left(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}\right)\le3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^5+y^2+z^2}+\dfrac{1}{y^5+x^2+z^2}+\dfrac{1}{z^5+x^2+y^2}\le\dfrac{3}{x^2+y^2+z^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky

\(\Rightarrow\left(x^5+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x}+y^2+z^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^5+y^2+z^2}\le\dfrac{\dfrac{1}{x}+y^2+z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

Thiết lập tương tự và thu lại ta có

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^5+y^2+z^2}+\dfrac{1}{y^5+x^2+z^2}+\dfrac{1}{z^5+x^2+y^2}\le\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

Chứng minh rằng \(\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\le\dfrac{3}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\le\dfrac{x^2+y^2+z^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le x^2+y^2+z^2\) ( vì \(xyz=1\) )

\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\) ( luôn đúng theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy )

\(\Rightarrow\) đpcm

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 10 2018

Lời giải:

Ta có: \(x+y+z=xyz\Rightarrow x(x+y+z)=x^2yz\)

\(\Rightarrow x(x+y+z)+yz=x^2yz+yz\)

\(\Rightarrow (x+y)(x+z)=yz(x^2+1)\)

Do đó: \(\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{1+\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{yz}}}{x}\leq \frac{1+\frac{1}{2}(\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z})}{x}\) theo BĐT AM-GM:

Thực hiện tương tự với các phân thức khác ta suy ra:

\(\text{VT}\leq \frac{1+\frac{1}{2}(\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z})}{x}+\frac{1+\frac{1}{2}(\frac{y+z}{z}+\frac{y+x}{x})}{y}+\frac{1+\frac{1}{2}(\frac{z+x}{x}+\frac{z+y}{y})}{z}\)

\(\text{VT}\leq 3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3(xy+yz+xz)}{xyz}\)

Mà theo AM-GM:

\(\frac{3(xy+yz+xz)}{xyz}\leq \frac{(x+y+z)^2}{xyz}=\frac{(xyz)^2}{xyz}=xyz\)

Do đó: \(\text{VT}\leq xyz\)

Ta có đpcm.

23 tháng 10 2018

may báo cáo Tiép đi

Căn bậc hai. Căn bậc ba

2 tháng 10 2021

Áp dụng BĐT cosi cho 3 số x;y;z dương

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2y^2}{y^2z^2}}=\dfrac{2x}{z}\\ \dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge2\sqrt{\dfrac{y^2z^2}{x^2z^2}}=\dfrac{2y}{z}\\ \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2z^2}{x^2y^2}}=\dfrac{2z}{y}\)

Cộng vế theo vế 

\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{x^2}{z^2}\right)\ge2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\)

\(\LeftrightarrowĐpcm\)

2 tháng 10 2021

Cám ơn thầy ạ, tuy nhiên hình như là có sự nhầm lẫn rồi thầy ạ, bài này thầy xem lại  đề bài giúp em với ạ

1 tháng 2 2023

Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :

1(�+1)2+�+18+�+18≥31643=34

=> 1(�+1)2≥34−�+14 (1)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1 

CM tương tự ra có " 1(�+1)2≥34−�+14(2) ; 1(�+1)2≥34−�+14 (3)

Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1 

Từ (1) (2) và (3) => 1(�+1)2+1(�+1)2+1(�+1)2≥34⋅3−�+�+�+34≥94−3���3+34=94−64=34

BĐT được chứng minh 

Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1

:()

24 tháng 5 2022

\(x,y,z>0\)

Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:

\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)

\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)

\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)

Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:

\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)

\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)

\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(P_{min}=0\)