Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT cosi cho 3 số x;y;z dương
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2y^2}{y^2z^2}}=\dfrac{2x}{z}\\ \dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge2\sqrt{\dfrac{y^2z^2}{x^2z^2}}=\dfrac{2y}{z}\\ \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2z^2}{x^2y^2}}=\dfrac{2z}{y}\)
Cộng vế theo vế
\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{x^2}{z^2}\right)\ge2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\)
\(\LeftrightarrowĐpcm\)
Cám ơn thầy ạ, tuy nhiên hình như là có sự nhầm lẫn rồi thầy ạ, bài này thầy xem lại đề bài giúp em với ạ
Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :
=> (1)
Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1
CM tương tự ra có " (2) ; (3)
Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1
Từ (1) (2) và (3) =>
BĐT được chứng minh
Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1
:()
\(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\Rightarrow ab+bc+ca=2020\)
BĐT trở thành:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca}{abc}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020^2}{abc}\)
Ta có: \(\sqrt{2020+a^2}=\sqrt{ab+bc+ca+a^2}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(2a+b+c\right)\)
Tương tự:...
\(\Rightarrow\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le3\left(a+b+c\right)\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(3\left(a+b+c\right)\le\dfrac{2020^2}{abc}=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\) (hiển nhiên đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương $x, y, z$, ta được:$x^{3}+y^{2} \geqslant 2 \sqrt{x^{3} \cdot y^{2}}=2 x y \cdot \sqrt{x}$$y^{3}+z^{2} \geqslant 2 \sqrt{y^{3} \cdot z^{2}}=2 y z \cdot \sqrt{y}$$z^{3}+x^{2} \geqslant 2 \sqrt{z^{3} \cdot x^{2}}=2 z x \cdot \sqrt{z}$Khi đó BĐT đã cho trở thành:$\dfrac{2 \sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}} \leqslant \dfrac{2 \sqrt{x}}{2 x y \sqrt{x}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{2 y z \sqrt{y}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{2 z x \sqrt{z}}=\dfrac{1}{x y}+\dfrac{1}{y z}+\dfrac{1}{z x} (1)$Mặt khác ta có:$\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}} \geqslant \dfrac{2}{x y} \Rightarrow \dfrac{1}{x y} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\right)$
CMTT: $\dfrac{1}{y z} \leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}\right) ; \dfrac{1}{z x} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{z^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)$Suy ra: $\dfrac{1}{x y}+\dfrac{1}{y z}+\dfrac{1}{z x} \leqslant \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}(2)$Từ $(1)$ và $(2)$ ta được: $\dfrac{2 \sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}} \leqslant \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}$Dấu " $="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương $x, y, z$, ta được:
$x^{3}+y^{2} \geqslant 2 \sqrt{x^{3} \cdot y^{2}}=2 x y \cdot \sqrt{x}$
$y^{3}+z^{2} \geqslant 2 \sqrt{y^{3} \cdot z^{2}}=2 y z \cdot \sqrt{y}$
$z^{3}+x^{2} \geqslant 2 \sqrt{z^{3} \cdot x^{2}}=2 z x \cdot \sqrt{z}$
Khi đó BĐT đã cho trở thành:
$\dfrac{2 \sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}} \leqslant \dfrac{2 \sqrt{x}}{2 x y \sqrt{x}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{2 y z \sqrt{y}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{2 z x \sqrt{z}}=\dfrac{1}{x y}+\dfrac{1}{y z}+\dfrac{1}{z x} (1)$
Mặt khác ta có:
$\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}} \geqslant \dfrac{2}{x y} \Rightarrow \dfrac{1}{x y} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\right)$
CMTT: $\dfrac{1}{y z} \leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}\right) ; \dfrac{1}{z x} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{z^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)$
Suy ra: $\dfrac{1}{x y}+\dfrac{1}{y z}+\dfrac{1}{z x} \leqslant \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta được: $\dfrac{2 \sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}} \leqslant \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}$
Dấu " $="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$
\(\Sigma\left(\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(1-\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\right)\le3\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}\right)\le3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^5+y^2+z^2}+\dfrac{1}{y^5+x^2+z^2}+\dfrac{1}{z^5+x^2+y^2}\le\dfrac{3}{x^2+y^2+z^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky
\(\Rightarrow\left(x^5+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x}+y^2+z^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^5+y^2+z^2}\le\dfrac{\dfrac{1}{x}+y^2+z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^5+y^2+z^2}+\dfrac{1}{y^5+x^2+z^2}+\dfrac{1}{z^5+x^2+y^2}\le\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Chứng minh rằng \(\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\le\dfrac{3}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\le\dfrac{x^2+y^2+z^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le x^2+y^2+z^2\) ( vì \(xyz=1\) )
\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\) ( luôn đúng theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy )
\(\Rightarrow\) đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)