Question

[Trần Thị Ý Hoài]

m.n giải giúp mình vs ạ

a) \(6^x-2^x=32\)

b) \(5^{7^x}=7^{5^x}\)

c) \(\log_x\left(x+1\right)=\log_{1,5}\)

d) \(3^x+3^{-x}=\sqrt[2]{8-x^2}\)

e)\(x^{\log_2\left(9\right)}=x^2\cdot3^{\log_2x}-x^{\log_23}_{ }\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) Vì \(6^x-2^x>0\Rightarrow x>0\)

Xét \(y=6^x-2^x-32\) có \(y'=\ln 6.6^x-\ln 2.2^x>0\forall x>0\) nên hàm $y$ đồng biến trên \(x\in(0,+\infty)\).

Khi đó phương trình \(6^x-2^x=32\) có nghiệm duy nhất $x=2$

b) Có \(5^{7^x}=7^{5^x}\Leftrightarrow \log(5^{7^x})=\log (7^{5^x})\)

\(\Leftrightarrow 7^x\log 5=5^x\log 7=7^{x\frac{\log 5}{\log 7}}\log 7\)

\(\Leftrightarrow 7^{x(1-\frac{\log 5}{\log 7})}=\frac{\log 7}{\log 5}=10^{x\log 7(1-\frac{\log 5}{\log 7})}=10^{x\log(\frac{7}{5})}\)

\(\Leftrightarrow x\log\frac{7}{5}=\log\left ( \frac{\log 7}{\log 5} \right )\)\(\Rightarrow x=\frac{\log\left ( \frac{\log 7}{\log 5} \right )}{\log\frac{7}{5}}\)

Answer 2

[Akai Haruma]

d) ĐKXĐ:...........

\(3^x+\frac{1}{3^x}=\sqrt{8-x^2}\Leftrightarrow 9^x+\frac{1}{9^x}+2=8-x^2\)

\(\Leftrightarrow 9^x+\frac{1}{9^x}+x^2=6\)

Giả sử \(x\geq 0\) . Xét hàm \(y=9^x+\frac{1}{9^x}+x^2\) có \(y'=9^x\ln 9-\frac{\ln 9}{9^x}+2x\geq 0\) nên hàm đồng biến trên \(x\in [0,+\infty)\)

Do đó PT \(9^x+\frac{1}{9^x}+x^2=6\) với $x\geq 0$ có nghiệm duy nhất \(x\approx 0,753897\)

---------------------------------------------------------------------------------

Vì hàm \(y\) là hàm chẵn nên $-x$ cũng là nghiệm, do đó tổng kết lại PT có nghiệm là \(x\approx \pm 0,753897\)