Question

[Nguyễn Khắc Tùng Lâm]

1) Cho x,y,z > -1 thỏa mãn:

\(x^3+y^3+z^3\)≥ \(x^2+y^2+z^2\)

CMR: \(x^5+y^5+z^5\)≥ \(x^2+y^2+z^2\)

2. Cho a,b,c ϵ {0;1;2} và a+b+c=3

CMR: \(a^2+b^2+c^2\) ≤ 5

3. Cho \(a_1,a_2,..,a_9\in\left[-1;1\right]\) sao cho \(a^3_1+a^3_2+...+a^3_9=0\)

CMR: \(a^3_1+a^3_2+...+a^3_9\le3\)

4. Cho \(ab\ge1\). CMR: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{1+ab}\)

5. Cho a,b,c >0. CMR:

\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\le3\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)

Answer 1

[tthnew]

5/ Tưỡng dễ ăn = sos + bđt phụ ai ngờ....hic...

\(BĐT\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}-\frac{a^2+b^2}{a+b}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b\right)-\left(a^2+b^2\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{ca\left(c-a\right)-bc\left(b-c\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}-\frac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b+c\right)\left(b+c\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{ca\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)}\ge0\left(\text{đúng}\right)\)

Ai ngờ nổi khi không dùng BĐT phụ lại dễ hơn cái kia chứ -_-

Answer 2

[tthnew]

Ây za,nhầm dòng cuối cùng xíu ạ:

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{ca\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\ge0\left(\text{đúng}\right)\) -_- đánh thiếu một chút lại ra nông nỗi -_-