K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

23 tháng 2 2019

\(taco:\)

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{y\left(y+1\right)}.\frac{y}{2}.\frac{y+1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{z\left(z+1\right)}.\frac{z}{2}.\frac{z+1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\left(dpcm\right)\)

^^

23 tháng 2 2019

Mình giải lại bài này cho đầy đủ hơn nhé: (nãy chỉ là hướng dẫn thôi)

Ta sẽ c/m: \(\frac{1}{x^2+x}\ge-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\) (1).Thật vậy,xét hiệu hai vế,ta có:

\(VT-VP=\frac{\left(3x+4\right)\left(x-1\right)^2}{4\left(x^2+x\right)}\ge0\)

Suy ra \(VT\ge VP\).Vậy (1) đúng.

Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế,ta có:

\(VT\ge-\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{5}{4}.3=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

2 tháng 5 2016

ta có \(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x^2+x}{4}>=2\cdot\sqrt{\frac{1\cdot\left(x^2+x\right)}{\left(x^2+x\right)\cdot4}}=1\)

tương tự => \(\frac{1}{y^2+y}+\frac{y^2+y}{4}>=1;\frac{1}{z^2+z}+\frac{z^2+z}{4}>=1\)

=> VT >= 3-(\(\frac{x^2+x}{4}+\frac{y^2+y}{4}+\frac{z^2+z}{4}\))=3-\(\frac{x^2+y^2+z^2+3}{4}\)

mà \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4+4+4}=\frac{3}{4}\)

=> P>= 3-3/4-3/4=3/2

Dấu bằng khi x=y=z=1

3 tháng 5 2016

Bài bạn Lương Ngọc Anh bị ngược dấu nên sai hoàn toàn. Lời giải:

Ta có:

\(\frac{1}{x^2+x}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)

Tương tự, ta được:

\(VT=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

Áp dụng BĐT Schwarz:

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(3+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Do đó:

\(VT\ge\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\left(1\right)\)

Mặt khác:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=3\left(2\right)\)

TỪ (1) VÀ (2) TA CÓ ĐIỀU PHẢI CHỨNG MINH.

29 tháng 1 2019

\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\) (áp dụng svacxo)

Áp dụng bđt phụ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

=>\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{\frac{1}{3}}}\)

31 tháng 8 2019

Cách 2:

\(\frac{x^3}{y}+xy\ge2\sqrt{\frac{x^3}{y}.xy}=2x^2\)

Tương tự hai bđt còn lại , cộng theo vế:

\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(xy+yz+zx\right)\ge x^2+y^2+z^2=1\)(đpcm)

Cách 3:

\(\frac{x^3}{y}+\frac{x^3}{y}+y^2\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y}.\frac{x^3}{y}.y^2}=3x^2\)

Hay \(\frac{2x^3}{y}\ge3x^2-y^2\)

Tương tự 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế rồi chia cho 2 thu được đpcm

Cách 4:

\(\frac{x^3}{y}+\frac{x^3}{y}+xy+xy\ge4\sqrt[4]{x^8}=4x^2\)

Hay \(\frac{2x^3}{y}\ge4x^2-2xy\). Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế rồi làm nốt:v

P/s: Lời giải trên dùng kỹ thuật ghép cặp, một kĩ thuật rất gây ức chế cho em vì nhiều khi nghĩ không ra cần ghép với số nào:v

14 tháng 5 2017

Ta có   \(VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)

Lại có   \(x^2\left(1-x^2\right)^2=\frac{2x^2\left(1-x^2\right)\left(1-x^2\right)}{2}\le\frac{\left(2x^2+1-x^2+1-x^2\right)^3}{54}=\frac{4}{27}\)

\(\Leftrightarrow\)   \(x\left(1-x^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\frac{1}{x\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\frac{x}{\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\)  (1)

Tương tự cho    \(\frac{y}{\left(1-y^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\)  (2)  và    \(\frac{z}{\left(1-z^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\)   (3)

Cộng vế theo vế ta được   \(VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

13 tháng 5 2017

đọc là muốn sỉu rùi! Con học lớp 7 ko hỉu j hết......

4 tháng 9 2019

Pt tương đương:

\(2\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+3\)

Có: \(\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\ge\sqrt{3\cdot3\left(xyz\right)^2}=3\)

Đồng thời:

\(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}=x+y+z\le\sqrt{\left(x+y+z\right)^2}\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

Rồi cộng lại 

6 tháng 8 2020

Ta có: \(\frac{x^2}{1+2yz}+\frac{y^2}{1+2zx}+\frac{z^2}{1+2xy}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5}\)

Mà \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)

Nên thay vào ngược dấu

=> ch bt lm

6 tháng 8 2020

Nói chung khá đơn giản. Em chứng minh bất đẳng thức sau đây là được.

\(\frac{x^2}{1+2yz}=\frac{x^2}{x^2+\left(y^2+z^2+2yz\right)}=\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}\ge\frac{1}{25}\cdot\frac{17x^2-y^2-z^2}{x^2+y^2+z^2}\)

Có thể chứng minnh nó bằng cách: \(f\left(x,y,z\right)=\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}-\frac{1}{25}\cdot\frac{17x^2-y^2-z^2}{x^2+y^2+z^2}\)

Ta chứng minhL \(f\left(x,y,z\right)\ge f\left(x,\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2}\right)\ge0\) (quy đồng phát là ra nhân tử (y-z)^2 nên hiển nhiên:v)

Tương tự cộng lại. Xong.

Cách Cauchy-SChwarz:

Chứng minh theo trình tự: \(\Sigma\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\Sigma x^2\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]}\ge\frac{3}{5}\)

27 tháng 1 2018

Áp dụng BĐ Svac-xơ, ta có 

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\left(ĐPCM\right)\)

^_^