K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

11 tháng 7 2015

 

Đặt A bằng Biểu thức trong ngoặc

\(2A=\frac{3-1}{1.2.3}+\frac{4-2}{2.3.4}+\frac{5-3}{3.4.5}+...+\frac{10-8}{8.9.10}\)

\(2A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{8.9}-\frac{1}{9.10}=\frac{1}{2}-\frac{1}{9.10}=\frac{44}{90}\)

\(A=\frac{22}{90}\)

\(x=\frac{23}{45}:A=\frac{23}{45}:\frac{22}{90}=\frac{23}{11}=2\frac{1}{11}\)

11 tháng 7 2015

Áp dụng công thức sau mà dải:

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x\left(x+1\right)}-\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}\right)\)

3 tháng 8 2023

4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k(k+1)(k+2).4=

=1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]=

=1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5+3.4.5.6-...-(k-1)k(k+1)(k+2)+k(k+1)(k+2)(k+3)=

=k(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+3)(k+1)(k+2)=

=(k2+3k)(k2+3k+2)=(k2+3k)2+2(k2+3k)

=> 4S+1=(k2+3k)2+2(k2+3k)+1=[(k2+3k)+1]2

 

 S1= 1.2.3

                       S2= 2.3.4

                       S3=3.4.5

                       ...........

                       Sn = n(n+1)(n+2)

                       S= S1+S2+S3+...+Sn

  Chứng minh 4S + 1 là 1 số chính phương

11 tháng 2 2019

\(S=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+3\cdot4\cdot5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

\(\Rightarrow4S=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot4+3\cdot4\cdot5\cdot4+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\cdot4\)

\(=1\cdot2\cdot3\left(4-0\right)+2\cdot3\cdot4\left(5-1\right)+3\cdot4\cdot5\left(6-2\right)+.....+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\)\(=1\cdot2\cdot3\cdot4-0\cdot1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4\cdot5-1\cdot2\cdot3\cdot4+....+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)\(=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\)

Ta cần chứng minh:\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)+1\) là số chính phương.

Thật vậy:\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)+1=\left[k\left(k+3\right)\right]\left[\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right]+1\)

\(=\left(k^2+3k\right)\left(k^2+3k+2\right)+1\left(1\right)\)

Đặt \(k^2+3k=t\) thì (1) sẽ trở thành:

\(t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2=\left(k^2+3k+1\right)^2\)

Vì \(k\in N\)nên \(\left(k^2+3k+1\right)^2\) là số chính phương hay \(4S+1\) là số chính phương.

23 tháng 4 2016

\(4S=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot4+3\cdot4\cdot5\cdot4+...+k\cdot\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)\cdot4\)

\(1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot\left(5-1\right)+3\cdot4\cdot5\cdot\left(6-2\right)+...+k\cdot\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)\cdot\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\)= 1*2*3*4 + 2*3*4*5 - 1*2*3*4 + 3*4*5*6 - 2*3*4*5 + ... + k*(k+1)*(k+2)*(k+3) - (k-1)*k*(k+1)*(k+2)

=k*(k+1)*(k+2)*(k+3)

Ta có : S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + k(k + 1)(k + 2) 

=> 4S = 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + .... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

= k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 

= (k2 + 3k)(k2 + 3k + 2)

Nên :4S + 1 =   (k2 + 3k)(k2 + 3k + 2) + 1 

Đặt k2 + 3k = t 

Ta có : 4S + 1 = t(t + 2) + 1

= t+ 2t + 1 

= (t + 1)2 

Vì k thuộc N nên : k2 + 3k thuôc N <=> t + 1 = k2 + 3k + 1 thuôc N 

Vậy 4S + 1 là bình phương của 1 số tự nhiên 

9 tháng 4 2018

Ta có : C = |x-2016|+|x-2015|

=>       C = |2016-x|+|x-2015|

Áp dụng công thức : \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)(Với a;b \(\in Z\))

\(\Rightarrow C\ge\left|2016-x+x-2015\right|=1\)

Vậy dấu "=" xảy ra khi :

\(\orbr{\begin{cases}x\le2016\\x\ge2015\end{cases}}\Rightarrow x=\hept{\begin{cases}2016\\2015\end{cases}}\)

Vậy với x = 2016 hoặc x = 2015 thì C đạt GTNN = 1

11 tháng 4 2018

Ta có : 

\(S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

\(4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right).4\)

\(4S=1.2.3.\left(4-0\right)+2.3.4\left(5-1\right)+3.4.5\left(6-2\right)+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+1-k-1\right)\)

\(4S=1.2.3.4-1.2.3.0+2.3.4.5-2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\)

\(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

\(4S=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

\(\Rightarrow\)\(4S+1=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)+1\)

Lại có tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương ( muốn chứng minh thì mình chứng minh luôn ) 

Vậy \(4S+1\) là bình phương của một số tự nhiên 

Chúc bạn học tốt ~ 

11 tháng 4 2018

S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k(k+1)(k+2)

=> 4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k(k+1)(k+2).4

<=> 4S=1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5(6-2)+...+k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]

<=> 4S=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1).k(k+1)(k+2)(k+3)

=> 4S=k(k+1)(k+2)(k+3)

=> 4S+1=k(k+1)(k+2)(k+3)+1 = k(k+3)(k+1)(k+2)+1 = (k2+3k)(k2+3k+2)+1

Đặt: n=k2+3k 

=> 4S+1 = n(n+2)+1 = n2+2n+1 = (n+1)2

=> 4S+1 = (k2+3k+1)2

=> (4S+1) là bình phương của 1 số tự nhiên có giá trị là: (k2+3k+1)

Ví dụ: k=5 thì 4S+1=(25+15+1)2=412

22 tháng 11 2015

\(\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{2013.2014}-\frac{1}{2014.2015}\right)x=\frac{1}{3}\left(2014.2015.2016-2013.2014.2015........+2.3.4-1.2.3+1.2.3-0.1.2\right)\)

\(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2014.2015}\right)x=\frac{1}{3}.2014.2015.2016\)

\(x=\frac{1}{3.2029104}.2014^2.2015^2.2016=\)

\(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2014.2015}\right)x=\frac{1}{3}.2014.2015.2016\)

22 tháng 11 2015

vào câu hỏi tương tự nha bạn

21 tháng 12 2017

Ta có: \(E=1.2.3+2.3.4+.....+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow4E=1.2.3.4+2.3.4.\left(5-1\right)+......+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left[\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\right]\)

\(\Rightarrow4E=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+....+\) \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow4E=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

\(\Rightarrow4E=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

Đặt n2 + 3n +1 = y

\(\Rightarrow4E+1=\left(y-1\right)\left(y+1\right)+1=y^2-1+1=y^2\)

\(\Rightarrow4E+1=\left(n^2+3n+1\right)^2\)

Vì n tự nhiên => n2 + 3n + 1 tự nhiên => 4E + 1 là số chính phương

=> đpcm.