Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{a+c}>\frac{c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\) (1)
Lại có:
\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\\\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế lại được:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< 2\)
Vậy \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< 2\) (Đpcm)
xét 2 trường hợp:
Nếu ƯCLN(a,c)=1=>từ ab \(⋮\)c\(\Rightarrow\)b\(⋮\)c\(\Rightarrow\)d chia hết cho a, ta có ab=cd suy ra \(\frac{b}{c}=\frac{d}{a}\)=k (k\(\in\)N*)
suy ra b=k.c,d=k.a
\(\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n=a^n+k^n.c^n+c^n+k^n.a^n\)\(=\left(k^n+1\right).c^n+a^n.\left(k^n+1\right)\)
\(=\left(k^n+1\right).\left(a^n+c^n\right)\)vì k thuộc N nên \(k^n\)thuộc N*\(\Rightarrow\)k^n thuộc N* nên \(\left(k^n+1\right).\left(a^n+c^n\right)⋮k^n+1\)
nên \(a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số
Nếu ƯCLN(a,c)=p.Đặt a=xp; c= yp
với ƯCLN(x,y)=1.Từ ab=cd suy ra
x.m.b=y.m.d\(\Rightarrow\)x.b=y.d
Chứng minh tương tự ta có \(a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số
ta có: b+c<a+b+c=> a/b+c>a/a+b+c(1)
a+c< a+b+c=> b/a+c>b/a+b+c(2)
a+b<a+b+c=> c/a+b>c/a+b+c(3)
cộng từng vế của 1, 2,3 ta đpcm
còn phần sau
đợi chút
Giải
Ta có :\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Suy ra đpcm
Ta có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng lại ta được:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Vậy \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\left(đpcm\right)\)
a=1425