Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(S_{AOC}=x^2;S_{BOC}=y^2;S_{AOB}=z^2\) \(\left(x,y,z>0\right)\)
* Ta thấy tam giác AOB và BOP có chung đường cao kẻ từ B
\(\Rightarrow\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOP}}=\dfrac{OA}{OP}\). Tương tự \(\dfrac{S_{AOC}}{S_{COP}}=\dfrac{OA}{OP}\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOP}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{COP}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{BOP}+S_{COP}}=\dfrac{x^2+z^2}{y^2}\)
Tương tự \(\dfrac{OB}{OQ}=\dfrac{y^2+z^2}{x^2};\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\)
* Áp dụng BĐT cau-chy ta có
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2z^2}{y^4}}=\dfrac{2xz}{y^2}\) .
Tương tự \(\dfrac{y^2+z^2}{x^2}\ge\dfrac{2yz}{x^2}\) ; \(\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\ge\dfrac{2xy}{z^2}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{x^2+z^2}{y^2}.\dfrac{y^2+z^2}{x^2}.\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\ge8\)
\(\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OB}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{A}}=3\sqrt{2}\) - đpcm
Đặt \(S_{BOC}=x^2,S_{AOC}=y^2,S_{AOB}=z^2\) \(\Rightarrow S_{ABC}=S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}=x^2+y^2+z^2\)
Ta có : \(\frac{AD}{OD}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{AO+OD}{OD}=1+\frac{AO}{OD}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2}=1+\frac{y^2+z^2}{x^2}\)
\(\Rightarrow\frac{AO}{OD}=\frac{y^2+z^2}{x^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{AO}{OD}}=\sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}\)
Tương tự ta có \(\sqrt{\frac{OB}{OE}}=\sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y};\sqrt{\frac{OC}{OF}}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{z^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y}\ge\frac{x+y}{\sqrt{2}z}+\frac{y+z}{\sqrt{2}x}+\frac{x+z}{\sqrt{2}y}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2+2+2\right)=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Rightarrow S_{BOC}=S_{AOC}=S_{AOB}=\frac{1}{3}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\)O là trọng tâm của tam giác ABC
Vậy \(MinP=3\sqrt{2}\) khi O là trọng tâm của tam giác ABC
Trước hết ta chứng minh \(\frac{OA}{AM}+\frac{OB}{BN}+\frac{OC}{CP}=1\)
Thậy vậy \(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{ON}{CP}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}=1\)
Đặt \(\frac{OM}{AM}=x;\frac{ON}{BN}=y;\frac{OP}{CP}=z\Rightarrow x+y+z=1.\)
Khi đó \(a=\frac{OA}{OM}=\frac{AM-OM}{OM}=\frac{AM}{OM}-1=\frac{1}{x}-1\Rightarrow x=\frac{1}{a+1}\)
Tương tự \(\frac{OB}{ON}=b\Rightarrow y=\frac{1}{b+1};\frac{OC}{OP}=c\Rightarrow z=\frac{1}{c+1};\)
Vậy thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1.\)
Nếu cả a, b, c đều nhỏ hơn 2 thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}>\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (Vô lý)
Vậy phải tồn tại một tỉ số không nhỏ hơn 2.
Nếu cả a, b, c đều lớn hơn 2 thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (Vô lý)
Vậy phải tồn tại một tỉ số không lớn hơn 2.
tam giác BAK và tam giác BAO có chung đường cao kẻ từ B xuống cạnh đối diện
=>\(\dfrac{OA}{AK}=\dfrac{SAOB}{SBKA}=\dfrac{SAOC}{SCAK}\)
sư dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\dfrac{OA}{AK}=\dfrac{SAOB+SAOC}{SBKA+SCAK}=\dfrac{SAOB+SAOC}{SABC}\)
cmtt với \(\dfrac{OB}{BE}\)và\(\dfrac{OC}{CF}\)ta có \(\dfrac{OB}{BE}\)=\(\dfrac{SBAO+SOBC}{SABC}\),\(\dfrac{OC}{CF}\)=\(\dfrac{SOAC+SBAO}{SABC}\)
=>\(\dfrac{OA}{AK}+\dfrac{OB}{BE}+\dfrac{OC}{CF}=\dfrac{2\left(SOAB+SOAC+SOBC\right)}{SABC}=\dfrac{2SABC}{SABC}=2\)
=>ĐPCM