Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Với mọi số thực x;y;z ta có:
\(x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(z^2+1\right)\ge xy+yz+zx+x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}P+\dfrac{3}{2}\ge6\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
\(P_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)
1.1
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=a>0\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\sqrt{2-b^2}=2\\b+\sqrt{2-a^2}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a-b+\sqrt{2-b^2}-\sqrt{2-a^2}=0\)
\(\Leftrightarrow a-b+\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\sqrt{2-b^2}+\sqrt{2-a^2}}=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào pt đầu:
\(a+\sqrt{2-a^2}=2\Rightarrow\sqrt{2-a^2}=2-a\) (\(a\le2\))
\(\Leftrightarrow2-a^2=4-4a+a^2\Leftrightarrow2a^2-4a+2=0\)
\(\Rightarrow a=1\Rightarrow x=y=1\)
2.
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\x^2-xy+y^2=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2+3xy+3y^2=21\\7x^2-7xy+7y^2=21\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4x^2-10xy+4y^2=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(2x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2x\\y=\dfrac{1}{2}x\end{matrix}\right.\)
Thế vào pt đầu
...
ĐKXĐ: ...
Xét pt đầu: \(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-2xy+y^2-1}{xy}-2+\dfrac{2}{x+y}+4=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2-1}{xy}+\dfrac{2}{x+y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-1\right)+2xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2-1\right)+x^2+y^2-1+2xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2-1\right)+\left(x+y\right)^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2-1\right)+\left(x+y-1\right)\left(x+y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2+x+y\right)=0\)
Từ ĐKXĐ \(x+y-1\ge0\Rightarrow x+y\ge1\Rightarrow x^2+y^2+x+y>0\)
\(\Rightarrow x+y-1=0\Rightarrow y=1-x\)
Thế xuống pt dưới:
\(4x^2-5x+5+6\sqrt{x}=13\)
\(\Leftrightarrow4x^2-4x+1-x+6\sqrt{x}-9=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2-\left(\sqrt{x}-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1=\sqrt{x}-3\\2x-1=3-\sqrt{x}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
Lời giải:
ĐK: $x,y>0$
PT$(2)\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}-x=y+\frac{1}{\sqrt{y}}>0$
$\Rightarrow 1-x\sqrt{x}>1\Rightarrow 1>x$
Quay lại PT $(1)$:
$2x^2=xy+1$
Nếu $y\geq x$ thì: $2x^2=xy+1\geq x^2+1\Leftrightarrow x^2\geq 1\Rightarrow x\geq 1$ (vô lý vì $x<1$)
$\Rightarrow 0<y<x$
Khi đóTại PT$(2)$: $x+y=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}<0$ (vô lý vì $x,y>0$)
Vậy HPT vô nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)=\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\left(1\right)\\16x^5-20x^3+5\sqrt{xy}=\sqrt{\dfrac{y+1}{2}}\left(2\right)\end{matrix}\right.\).
ĐKXĐ: \(xy>0;y\ge-\dfrac{1}{2}\).
Nhận thấy nếu x < 0 thì y < 0. Suy ra VT của (1) âm, còn VP của (1) dương (vô lí)
Do đó x > 0 nên y > 0.
Với a, b > 0 ta có bất đẳng thức \(\left(a+b\right)^4\le8\left(a^4+b^4\right)\).
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
\(\left(a+b\right)^4\le\left[2\left(a^2+b^2\right)\right]^2=4\left(a^2+b^2\right)^2\le8\left(a^4+b^4\right)\).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
\(\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^4\le8\left[8\left(x^4+y^4\right)+16x^2y^2\right]=64\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\le8\left(x^2+y^2\right)\). (3)
Lại có \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2=4\left(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\right)\). (4)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có \(\dfrac{x^6}{y^4}+xy+xy+xy+xy\ge5x^2;\dfrac{y^6}{x^4}+xy+xy+xy+xy\ge5y^2;3\left(x^2+y^2\right)\ge6xy\).
Cộng vế với vế của các bđt trên lại rồi tút gọn ta được \(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\ge2\left(x^2+y^2\right)\). (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2\ge\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)\ge\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\).
Do đó đẳng thức ở (1) xảy ra nên ta phải có x = y.
Thay x = y vào (2) ta được:
\(16x^5-20x^3+5x=\sqrt{\dfrac{x+1}{2}}\). (ĐK: \(x>0\))
PT này có một nghiệm là x = 1 mà sau đó không biết giải ntn :v
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}=\sqrt{y}+\dfrac{3}{\sqrt{y}}\left(1\right)\\2x-\sqrt{xy}-1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\) đk : x>=; y>=0
Ta có (1) <=> \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-\left(\dfrac{3}{\sqrt{y}}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}\right)=0\)
<=> \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-3\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}=0\)
<=> \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\dfrac{3}{\sqrt{xy}}\right)=0\)
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=y\\\sqrt{xy}=3\end{matrix}\right.\)
+) với x=y, thay vào (2) ta có:
\(2x-\sqrt{x^2}-1=0\)
<=> 2x- x-1=0(do x>0)
<=> x=1 => y =1(t/m)
+) với \(\sqrt{xy}=3\) thay vào (2) ta có :
2x - 3-1 =0
<=> x= 2 (tm) => y = 9/2
Vậy hệ có nghiệm (x;y) là (1;1), (2;\(\dfrac{9}{2}\) )
