PK
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 3 2022
Ta có:
\(x^4+y^4\ge\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\dfrac{1}{2}.2xy\left(x^2+y^2\right)=xy\left(x^2+y^2\right)\)
Áp dụng:
\(P\le\dfrac{a}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{b}{b+ca\left(c^2+a^2\right)}+\dfrac{c}{c+ab\left(a^2+b^2\right)}\)
\(P\le\dfrac{a^2}{a^2+abc\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{b^2+abc\left(c^2+a^2\right)}+\dfrac{c^2}{c^2+abc\left(a^2+b^2\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 3 2022
\(ab+bc+ca=abc\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(\dfrac{1}{a+2b+3c}=\dfrac{1}{a+b+b+c+c+c}\le\dfrac{1}{6^2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{b+2c+3a}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{3}{a}\right)\) ; \(\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{6}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2022
\(\Leftrightarrow\dfrac{2bc}{2bc+a^2}+\dfrac{2ac}{2ac+b^2}+\dfrac{2ab}{2ab+c^2}\le2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2bc}{2bc+a^2}-1+\dfrac{2ac}{2ac+b^2}-1+\dfrac{2ab}{2ab+c^2}-1\le2-3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2bc+a^2}+\dfrac{b^2}{2ac+b^2}+\dfrac{c^2}{2ab+c^2}\ge1\)
BĐT trên đúng theo C-S:
\(\dfrac{a^2}{2bc+a^2}+\dfrac{b^2}{2ac+b^2}+\dfrac{c^2}{2ab+c^2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
7 tháng 3 2022
\(S=\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}\)
\(S=\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=a\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+b\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\right)+c\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge a.\dfrac{4}{b+c}+b.\dfrac{4}{a+c}+c.\dfrac{4}{a+b}=4\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\)
7 tháng 3 2022
Dạ vâng ạ, em chiều nay cũng vừa nghĩ ra được cách này.
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
PK
0
PK
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 3 2022
\(\dfrac{a}{a+2\sqrt{\left(a+bc\right)}}=\dfrac{a}{a+2\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\dfrac{a}{a+2\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\dfrac{a}{a+\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{2}+\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{2}+\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{2}+\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{2}}\)
\(\le\dfrac{a}{5^2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{2}}+\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{2}}+\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{2}}+\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{2}}\right)\)
\(=\dfrac{a}{25}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{8}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\right)=\dfrac{1}{25}+\dfrac{8}{25}.\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(\le\dfrac{1}{25}+\dfrac{4}{25}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{b}{b+2\sqrt{b+ac}}\le\dfrac{1}{25}+\dfrac{4}{25}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
\(\dfrac{c}{c+2\sqrt{c+ab}}\le\dfrac{1}{25}+\dfrac{4}{25}\left(\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Thực hiện lần lượt BĐT cô-si 3 số cho từng bộ 3 vế trái, ví dụ:
\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^3b^3c^3}}=\dfrac{3}{abc}\)
Làm tương tự, sau đó cộng vế và quy đồng vế phải là sẽ được BĐT cần chứng minh