K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
NT
2
KN
18 tháng 2 2020
Ta có: \(a\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)+b\left(a^2-1\right)\left(c^2-1\right)+c\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\)
\(=a\left(b^2c^2-b^2-c^2+1\right)+b\left(a^2c^2-a^2-c^2+1\right)\)
\(+c\left(a^2b^2-a^2-b^2+1\right)\)
\(=ab^2c^2-ab^2-ac^2+a+ba^2c^2-a^2b-bc^2+b\)
\(+ca^2b^2-a^2c-b^2c+c\)
\(=\left(ab^2c^2+ba^2c^2+ca^2b^2\right)+\left(a+b+c\right)\)
\(-\left(ab^2+ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c\right)\)
\(=abc\left(bc+ac+ab\right)+\left(a+b+c\right)\)\(-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\right]\)
\(=abc\left(bc+ac+ab\right)+\left(a+b+c\right)+3abc\)\(-\left[ab\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)+ca\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=abc\left(bc+ac+ab\right)+\left(a+b+c\right)+3abc\)\(-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=abc\left(bc+ac+ab\right)+abc+3abc\)\(-abc\left(ab+bc+ca\right)=4abc\)
Vậy \(a\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)+b\left(a^2-1\right)\left(c^2-1\right)+c\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)=4abc\)(đpcm)
NM
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 12 2020
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
\(\Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2\)
Ta có:
\(\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}=\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=3\)
TV
1
23 tháng 12 2020
Ta có: a+b+c=0
nên a+b=-c
Ta có: \(a^2-b^2-c^2\)
\(=a^2-\left(b^2+c^2\right)\)
\(=a^2-\left[\left(b+c\right)^2-2bc\right]\)
\(=a^2-\left(b+c\right)^2+2bc\)
\(=\left(a-b-c\right)\left(a+b+c\right)+2bc\)
\(=2bc\)
Ta có: \(b^2-c^2-a^2\)
\(=b^2-\left(c^2+a^2\right)\)
\(=b^2-\left[\left(c+a\right)^2-2ca\right]\)
\(=b^2-\left(c+a\right)^2+2ca\)
\(=\left(b-c-a\right)\left(b+c+a\right)+2ca\)
\(=2ac\)
Ta có: \(c^2-a^2-b^2\)
\(=c^2-\left(a^2+b^2\right)\)
\(=c^2-\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]\)
\(=c^2-\left(a+b\right)^2+2ab\)
\(=\left(c-a-b\right)\left(c+a+b\right)+2ab\)
\(=2ab\)
Ta có: \(M=\dfrac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\dfrac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\dfrac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
\(=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2ab}\)
\(=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)
Ta có: \(a^3+b^3+c^3\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ca-cb+c^2\right)-3ab\left(a+b\right)\)
\(=-3ab\left(a+b\right)\)
Thay \(a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\) vào biểu thức \(=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\), ta được:
\(M=\dfrac{-3ab\left(a+b\right)}{2abc}=\dfrac{-3\left(a+b\right)}{2c}\)
\(=\dfrac{-3\cdot\left(-c\right)}{2c}=\dfrac{3c}{2c}=\dfrac{3}{2}\)
Vậy: \(M=\dfrac{3}{2}\)
14 tháng 7 2021
`1)(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)`
`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3a^2+3b^2+3c^2`
`<=>2ab+2bc+2ca=2a^2+2b^2+2c^2`
`<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`
Mà `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`
Vậy dấu "=" xảy ra chỉ có thể là `a=b=c`
`2)(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca`
`<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>2ab+2bc+2ca=2a^2+2b^2+2c^2`
`<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`
Mà `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`
Vậy dấu "=" xảy ra chỉ có thể là `a=b=c`
Vậy nếu `a=b=c` thì ....
Có điều kiện gì của a,b,c không ạ?
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\) (a,b,c thực dương)
=\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{a+c}{4}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\)
\(-\left(\dfrac{b+c}{4}+\dfrac{a+c}{4}+\dfrac{a+b}{4}\right)\)
áp dụng BDT Cô si =>\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge a\)
tương tự : \(\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{a+c}{4}\ge b\)
\(\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge c\)
=>\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{a+c}{4}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\)
-\(-\left(\dfrac{b+c}{4}+\dfrac{a+c}{4}+\dfrac{a+b}{4}\right)\ge a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}\)
=\(\dfrac{a+b+c}{2}\left(dpcm\right)\)