Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(n^4-4n^3-4n^2+16n\)
= \(n^3\left(n-4\right)-4n\left(n-4\right)\)
= \(\left(n-4\right)\left(n^3-4n\right)=\left(n-4\right)n\left(n^2-4\right)\)
= \(\left(n-4\right).n.\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)
= \(\left(n-4\right).\left(n-2\right).n.\left(n+2\right)\)
Dấu hiệu chia hết cho 384: Tích của 4 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 384.
Ta thấy kết quả \(\left(n-4\right).\left(n-2\right).n.\left(n+2\right)\) vốn đã là tích của 4 số chẵn liên tiếp, do đó tích trên chia hết cho 384 với mọi n chẵn và n > 4
\(\Rightarrow\left(4n^3+2n^2-6n^2-3n+2n+1+3\right)⋮\left(2n+1\right)\\ \Rightarrow\left[\left(2n+1\right)\left(2n^2-3n+1\right)+3\right]⋮\left(2n+1\right)\\ \Rightarrow2n+1\inƯ\left(3\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\\ \Rightarrow n\in\left\{-2;-1;0;1\right\}\)
\(4n^3-4n^2-n+4⋮2n+1\)
\(\Leftrightarrow4n^3+2n^2-6n^2-3n+2n+1+3⋮2n+1\)
\(\Leftrightarrow2n+1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)
hay \(n\in\left\{0;-1;1;-2\right\}\)
a. Đề bài sai, với \(n=1;2;3...\) thì đều sai hết
b. Đề bài sai, với \(n=0;2;4...\) thì vẫn sai hết
Lời giải:
Đặt $n^4+4n^2-1=a^2$ với $a$ là số tự nhiên
$\Leftrightarrow (n^2+2)^2-5=a^2$
$\Leftrightarrow 5=(n^2+2)^2-a^2=(n^2+2-a)(n^2+2+a)$
Do $n^2+2+a\geq n^2+2-a$ với $a\geq 0$ và $n^2+2+a>0$ nên:
$n^2+2+a=5$ và $n^2+2-a=1$
$\Rightarrow 2(n^2+2)=6\Rightarrow n^2+2=3$
$\Leftrightarrow n^2=1$
$\Rightarrow n=\pm 1$
\(\Leftrightarrow4n^2-n+12n-3+7⋮4n-1\)
\(\Leftrightarrow4n-1\in\left\{-1;7\right\}\)
hay \(n\in\left\{0;2\right\}\)
\(n^4-4n^3-4n^2+16n=n\left(n^3-4n^2-4n+16\right)\)
\(=n\left[\left(n^3-4n^2\right)-\left(4n-16\right)\right]=n\left[n^2\left(n-4\right)-4\left(n-4\right)\right]\)
\(=n\left(n^2-4\right).\left(n-4\right)=n\left(n+2\right)\left(n-2\right)\left(n-4\right)=\left(n+2\right).n.\left(n-2\right).\left(n-4\right)\)
Vì \(\left(n+2\right).n.\left(n-2\right).\left(n-4\right)\)là tích của 4 số tự nhiên chẵn liên tiếp nên có chứa các thừa số là bội cuả 2,4,6,8 nên
chia hết cho 2x4x6x8=384
Vậy \(n^4-4n^3-4n^2+16n⋮384\)với n chẵn lớn hơn 4