SK
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
NT
18 tháng 9 2017
Đặt \(A=\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{2009^3}\)
Ta CM công thức sau :
\(\dfrac{1}{n^3}< \dfrac{1}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}\)
Thật vậy ta có : \(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right).n=\left(n^2-1\right).n=n^3-n< n^3\\ \Rightarrow\dfrac{1}{n^3}< \dfrac{1}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}\)
Áp dụng công thức trên vào biểu thức A ; ta có :
\(A=\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{2009^3}\\ < \dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{2008.2009.2010}\\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2008.2009}-\dfrac{1}{2009.2010}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2009.2010}\right)\\ =\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2.2009.2010}< \dfrac{1}{4}\)
Anh Tú xem xét bài e nhé !!
DN
0
N
28 tháng 3 2019
-Với n=1, ta thấy bthức đúng.
-Với n=k, có: \(\frac{1}{4+1^4}+\frac{3}{4+3^4}+...+\frac{2k-1}{4+\left(2k-1\right)^4}=\frac{k^2}{4k^2+1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}.\frac{1}{4k^2+1}\)
-Giả sử bthức đúng với n=k+1, có:
\(\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}.\frac{1}{4\left(k+1\right)^2+1}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}.\frac{1}{4k^2+1}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4k^2+1}-\frac{1}{4\left(k+1\right)^2+1}\right)\)
\(=\frac{2k+1}{\left(4k^2+1\right)\left(4\left(k+1\right)^2+1\right)}=\frac{2k+1}{4+\left(2k+1\right)^4}\)
Vậy ta có đpcm.
TT
0
13 tháng 9 2017
Ta có: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{1990^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{1989.1990}\)
Đặt \(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{1989.1990}\)
\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{1989.1990}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1989}-\frac{1}{1990}\)
\(=1-\frac{1}{1990}=\frac{1989}{1990}\)
Vì \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{1990^2}< \frac{1989}{1990}< \frac{3}{4}\)nên \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}< \frac{3}{4}\)
