Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Từ điều kiện đề bài suy ra tồn tại các số \(x,y,z>0\) thỏa mãn:
\((a,b,c)=\left(\frac{x}{y+z},\frac{y}{x+z},\frac{z}{x+y}\right)\)
Khi đó, BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\geq 4\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\right)+\left ( \frac{y}{x}+\frac{y}{x} \right )+\left ( \frac{z}{x}+\frac{z}{y} \right )\geq 4\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \right )\) \((\star)\)
BĐT trên hiển nhiên đúng do theo BĐT Cauchy-Schwarz thì:
\(\left\{\begin{matrix} x\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq \frac{4x}{y+z}\\ y\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z} \right )\geq \frac{4y}{x+z}\\ z\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{x} \right )\geq \frac{4x}{y+x}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế thì ta thu được \((\star)\), do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
bài h qua thì dễ mà t thì đến muộn
Bài nay khó z mak t đến sớm là sao z trời :((
a) Ta có: \(\dfrac{2x+1}{6}-\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{3-2x}{3}-x\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(2x+1\right)}{12}-\dfrac{3\left(x-2\right)}{12}=\dfrac{4\left(3-2x\right)}{12}-\dfrac{12x}{12}\)
\(\Leftrightarrow4x+2-3x+6=12-8x-12x\)
\(\Leftrightarrow x+8-12+20x=0\)
\(\Leftrightarrow21x-4=0\)
\(\Leftrightarrow21x=4\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{21}\)
Vậy: \(S=\left\{\dfrac{4}{21}\right\}\)
Hình như em viết công thức bị lỗi rồi. Em cần chỉnh sửa lại để được hỗ trợ tốt hơn!
Ta có: \(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\)
\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{2^2-1}+\dfrac{1}{3^2-1}+...+\dfrac{1}{n^2-1}\)
\(\Rightarrow2A< \dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{2.4}+\dfrac{2}{3.5}+...+\dfrac{2}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow2A< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\)
\(\Rightarrow2A< 1\)
\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{2}< \dfrac{2}{3}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{3^3}\) < \(\dfrac{1}{2.3.4}\)
\(\dfrac{1}{4^3}\) < \(\dfrac{1}{3.4.5}\)
.......
\(\dfrac{1}{n^3}\) < \(\dfrac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{3^3}\) + \(\dfrac{1}{4^3}\) + ...+ \(\dfrac{1}{n^3}\) < \(\dfrac{1}{2.3.4}\)
+ \(\dfrac{1}{3.4.5}\) + ... + \(\dfrac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\) Có:\(\dfrac{1}{2.3.4}\)+ \(\dfrac{1}{3.4.5}\)+...+\(\dfrac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\) = \(\dfrac{1}{2}\)(\(\dfrac{1}{2.3}\) - \(\dfrac{1}{3.4}\)+ \(\dfrac{1}{3.4}\)- \(\dfrac{1}{4.5}\)+ ... +\(\dfrac{1}{n\left(n-1\right)}\)- \(\dfrac{1}{n}\) + \(\dfrac{1}{n}\) - \(\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)) = \(\dfrac{1}{2}\)(\(\dfrac{1}{2.3}\) - \(\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)) = \(\dfrac{1}{12}\)- \(\dfrac{1}{2n\left(n+1\right)}\) < \(\dfrac{1}{12}\) Vậy B = \(\dfrac{1}{3^3}\) + \(\dfrac{1}{4^3}\)+ \(\dfrac{1}{5^3}\)+ ... + \(\dfrac{1}{n^3}\) < \(\dfrac{1}{12}\) Chúc bn học tốt
Lời giải:
a)
PT \(\Leftrightarrow \frac{(x+2)^3}{8}-\frac{x^3+8}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)^3-4(x^3+8)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)^3-4(x+2)(x^2-2x+4)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)[(x+2)^2-4(x^2-2x+4)]=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)(-3x^2+12x-12)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)(x^2-4x+4)=0\Leftrightarrow (x+2)(x-2)^2=0\Rightarrow x=\pm 2\)
b) Bạn kiểm tra lại xem có sai đề không?
Đặt \(A=\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{2009^3}\)
Ta CM công thức sau :
\(\dfrac{1}{n^3}< \dfrac{1}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}\)
Thật vậy ta có : \(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right).n=\left(n^2-1\right).n=n^3-n< n^3\\ \Rightarrow\dfrac{1}{n^3}< \dfrac{1}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}\)
Áp dụng công thức trên vào biểu thức A ; ta có :
\(A=\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{2009^3}\\ < \dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{2008.2009.2010}\\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2008.2009}-\dfrac{1}{2009.2010}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2009.2010}\right)\\ =\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2.2009.2010}< \dfrac{1}{4}\)
Anh Tú xem xét bài e nhé !!
vâng ạ !!