K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
NN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 3 2021
Lời giải:
Khi $x-y+z=0\Rightarrow y=x+z$. Thay vào biểu thức $xy+yz-xz$ thì:
$xy+yz-xz=x(x+z)+(x+z)z-xz=x^2+xz+z^2=x^2+\frac{xz}{2}+\frac{xz}{2}+\frac{z^2}{4}+\frac{3}{4}z^2$
$=(x+\frac{z}{2})^2+\frac{3}{4}z^2$
Dễ thấy $(x+\frac{z}{2})^2\geq 0; \frac{3}{4}z^2\geq 0$ với mọi $x,y,z$ nên $xy+yz-xz\geq 0$
Ta có đpcm.
20 tháng 11 2021
\(\dfrac{xy}{x+y}=\dfrac{yz}{y+z}=\dfrac{zx}{z+x}\\ \Rightarrow\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{z+x}{zx}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}\\ \Rightarrow x=y=z\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{x^2+x^2+x^2}{x^2+x^2+x^2}=1\)
6 tháng 4 2020
Áp dùng BĐT Cosi ta có:
\(\frac{x^3}{yz}+y+z\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{yz}\cdot y\cdot z}=3x\)
\(\frac{y^3}{xz}+z+x\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{zx}\cdot z\cdot x}=3y\)
\(\frac{z^3}{yx}+x+y\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{xy}\cdot x\cdot y}=3z\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{xy}+y+z+\frac{y^3}{zx}+x+z+\frac{z^3}{xy}+x+y\ge3x+3y+3z\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy}\ge3\left(x+y+z\right)-2\left(x+y+z\right)\)\(=x+y+z\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^3}{yz}=y=z\\\frac{y^3}{zx}=x=z\\\frac{z^3}{yz}=y=x\end{cases}\Rightarrow x=y=z}\)
EL
0
13 tháng 7 2017
Ta có :
\(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{zx}{z+x}=\frac{xyz}{z\left(x+y\right)}=\frac{xyz}{x\left(y+z\right)}=\frac{xyz}{y\left(x+z\right)}\)
\(\Rightarrow z\left(x+y\right)=x\left(y+z\right)=y\left(z+x\right)\)
Từ \(z\left(x+y\right)=x\left(y+z\right)\Leftrightarrow xz+yz=xy+xz\Leftrightarrow yz=xy\Rightarrow x=z\) (1)
Từ \(x\left(y+z\right)=y\left(x+z\right)\Leftrightarrow xy+xz=xy+yz\Leftrightarrow xz=yz\Rightarrow x=y\) (2)
Từ \(z\left(x+y\right)=y\left(z+x\right)\Leftrightarrow xz+yz=yz+xy\Leftrightarrow xz=xy\Rightarrow z=y\) (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) \(\Rightarrow x=y=z\) (đpcm)
