K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

17 tháng 8 2019

Dat \(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)

Ta co: \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Ta d̃i CM:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Ta co:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\left(dpcm\right)\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)

17 tháng 8 2019

Với a,b,c,d >0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : 

                          \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

                          \(c+d\ge2\sqrt{cd}\)

Do đó : \(a+b+c+d\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\) \(=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)\)     (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

                 \(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\ge2\sqrt{\sqrt{ab}.\sqrt{cd}}=2\sqrt[4]{abcd}\)      (2)

Từ (1) và (2) ta có : \(a+b+c+d\ge4\sqrt[4]{abcd}\)

           \(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\)

           \(\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4\ge abcd\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d\)

1 tháng 6 2017

Câu 2 : x^+x+y^2+x = x(x+1) +y(y+1) chia cho vế trái (x+1)(y+1) ...
Bài toán dễ dàng :V

1 tháng 6 2017

Mình nhớ có học qua rùi mà dốt quá trả chữ cho thầy cô hết trơn :)

22 tháng 8 2016

Không mất tính tổng quát giả sử \(1\le a\le b\le c\le2\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}\le1\\\frac{b}{c}\le1\end{cases}\Rightarrow\left(1-\frac{a}{b}\right)\left(1-\frac{b}{c}\right)\ge0}\)(1)
Tương tự ta có \(\left(1-\frac{b}{a}\right)\left(1-\frac{c}{b}\right)\ge0\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\le2\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{a}{c}\right)+3\le5+2\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)(2)
Mà :\(\left(2-\frac{a}{c}\right)\left(\frac{1}{2}-\frac{a}{c}\right)\le0\Rightarrow\frac{1}{2}-\frac{a}{c}\le0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le\frac{a}{c}\le1\Rightarrow\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\le\frac{5}{2}\)
\(\left(3\right)\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\le5+\frac{2.5}{2}=10\Rightarrow dpcm\)
Dấu= xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(1,1,2\right);\left(2,2,1\right)\right\}\)và các cặp hoán vị của nó 
\(\)
 

22 tháng 8 2016

1/  Cho \(a,b,c\ge1\)Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a\left(b+1\right)}+\frac{1}{b\left(c+1\right)}+\frac{1}{c\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{1+abc}\)

2/  Cho \(a,b,c,d\in\left[0;1\right].\)Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{bc+cd+db+1}+\frac{b}{cd+da+ac+1}+\frac{c}{da+ab+bd+1}+\frac{d}{ab+bc+ca+1}\le\frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}.\)

3/  Giả sử\(a,b>0\)và 

29 tháng 7 2016

a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)

ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm ) 

dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0 

vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0

3 tháng 2 2016

Học sinh trên OLM đúng là dốt, chẳng ai làm được bài này....