Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có \(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{80}< \frac{1}{80}+\frac{1}{80}+..+\frac{1}{80}\)
ta có vế phải có 40 số , vế trái cũng có 40 số
VT=\(40\cdot\frac{1}{80}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}\)
do đó VT<1/2
A = \(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{80}=\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+...+\frac{1}{80}\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{41}>\frac{1}{60};\frac{1}{42}>\frac{1}{60};....;\frac{1}{59}>\frac{1}{60}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{60}>\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{60}=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}\)(1)
Lại có: \(\frac{1}{61}>\frac{1}{80};\frac{1}{62}>\frac{1}{80};....;\frac{1}{79}>\frac{1}{80}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+...+\frac{1}{80}>\frac{1}{80}+\frac{1}{80}+...+\frac{1}{80}=\frac{20}{80}=\frac{1}{4}\)(2)
Cộng (1) và (2) lại ta được:
\(A>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}\)(đpcm)
Chứng minh 1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/79 + 1/80 > 7/12
Ta có:
7/12 = 4/12 + 3/12 = 1/3 + 1/4 = 20/60 + 20/80
1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80 = (1/41 + 1/42 + 1/43 + ...+ 1/60) + (1/61 + 1/62 +...+ 1/79 + 1/80)
Do 1/41> 1/42 > 1/43 > ...>1/59 > 1/60
=> (1/41 + 1/42 + 1/43 + ...+ 1/60) > 1/60 + ...+ 1/60 = 20/60
và 1/61> 1/62> ... >1/79> 1/80
=> (1/61 + 1/62 +...+ 1/79 + 1/80) > 1/80 + ...+ 1/80 = 20/80
Vậy: 1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80 > 20/60 + 20/80 = 7/12
=> 1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80 > 7/12
=> ĐPCM
Đặt \(A=\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{42}+\dfrac{1}{43}+...+\dfrac{1}{80}\)
\(=\left(\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{42}+\dfrac{1}{43}+...+\dfrac{1}{60}\right)+\left(\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{62}+\dfrac{1}{63}+...+\dfrac{1}{80}\right)\)
Mặt khác:
\(\dfrac{7}{12}=\dfrac{20}{60}+\dfrac{20}{80}\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{20}{60}< \left(\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{42}+\dfrac{1}{43}+...+\dfrac{1}{60}\right)\\\dfrac{20}{80}< \left(\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{62}+\dfrac{1}{63}+...+\dfrac{1}{80}\right)\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\dfrac{7}{12}< A\) (1)
Ta có:
\(\dfrac{5}{6}=\dfrac{20}{40}+\dfrac{20}{60}\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{20}{40}>\left(\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{42}+\dfrac{1}{43}+...+\dfrac{1}{60}\right)\\\dfrac{20}{60}>\left(\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{62}+\dfrac{1}{63}+...+\dfrac{1}{80}\right)\end{matrix}\right.\)
⇒ \(A< \dfrac{5}{6}< 1\)(2)
Từ (1) và (2)
⇒ \(\dfrac{7}{12}< A< 1\) (đpcm)
Bài 1:
Ta có: \(\frac{1}{51}>\frac{1}{100}\)
\(\frac{1}{52}>\frac{1}{100}\)
......
\(\frac{1}{99}>\frac{1}{100}\)
Công vế với vế lại ta được:
\(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}>\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+...+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}\) (1)
Lại có: \(\frac{1}{51}< \frac{1}{50}\)
\(\frac{1}{52}< \frac{1}{50}\)
.....
\(\frac{1}{100}< \frac{1}{50}\)
Cộng vế với vế lại ta được:
\(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{100}< \frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}=\frac{50}{50}=1\) (2)
Từ (1)(2) => \(\frac{1}{2}< \frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{100}< 1\) (đpcm)
Bài 2:
Đặt S = 1/41 + 1/42 +...+ 1/80
S có 40 số hạng,chia thành 4 nhóm,mỗi nhóm có 10 số hạng
Ta có:S = \(\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{50}\right)\) + \(\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{60}\right)\)+ \(\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+...+\frac{1}{70}\right)\)+ \(\left(\frac{1}{71}+\frac{1}{72}+...+\frac{1}{80}\right)\)
=> S > \(\left(\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}\right)+\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{70}+\frac{1}{70}+...+\frac{1}{70}\right)+\left(\frac{1}{80}+\frac{1}{80}+...+\frac{1}{80}\right)\)
=> S > \(\frac{10}{50}+\frac{10}{60}+\frac{10}{70}+\frac{10}{80}\)
=> S > \(\frac{533}{840}>\frac{490}{840}=\frac{7}{12}\)
Vậy \(S=\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{80}>\frac{7}{12}\left(đpcm\right)\)
Số lượng số của dãy số trên là :
( 80 - 41 ) : 1 + 1 = 40 ( số )
Ta có :
\(\frac{1}{41}>\frac{1}{80};\frac{1}{42}>\frac{1}{80};...;\frac{1}{80}=\frac{1}{80}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{80}>\frac{1}{80}+\frac{1}{80}+...+\frac{1}{80}\)( 40 số )
\(\Rightarrow\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{80}>\frac{1}{80}.40=\frac{1}{2}\left(1\right)\)
Ta có :
\(\frac{1}{41}< \frac{1}{40};\frac{1}{42}< \frac{1}{40};...;\frac{1}{80}< \frac{1}{40}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{80}< \frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\)( 40 số )
\(\Rightarrow\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{80}>\frac{1}{40}.40=1\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\frac{1}{2}< \frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{80}< 1\left(Đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
Ta có:
7/12 = 4/12 + 3/12 = 1/3 + 1/4 = 20/60 + 20/80
1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80 = (1/41 + 1/42 + 1/43 + ...+ 1/60) + (1/61 + 1/62 +...+ 1/79 + 1/80)
Do 1/41> 1/42 > 1/43 > ...>1/59 > 1/60
=> (1/41 + 1/42 + 1/43 + ...+ 1/60) > 1/60 + ...+ 1/60 = 20/60
và 1/61> 1/62> ... >1/79> 1/80
=> (1/61 + 1/62 +...+ 1/79 + 1/80) > 1/80 + ...+ 1/80 = 20/80
Vậy: 1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80 > 20/60 + 20/80 = 7/12
=> 1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80 > 7/12