Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Giả sử rằng là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a /b = .
- Như vậy có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọnđược nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)2 = 2.
- Từ (2) suy ra a2 / b2 = 2 và a2 = 2 b2.
- Khi đó a2 là số chẵn vì nó bằng 2 b2 (hiển nhiên là số chẵn)
- Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a2 là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).
- Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.
- Thay (6) vào (3) ta có: (2k)2 = 2b2 4k2 = 2b2 2k2 = b2.
- Vì 2k2 = b2 mà 2k2 là số chẵn nên b2 là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn (lí luận tương tự như (5).
- Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).
Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận là số vô tỉ.
Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."
- Giả sử rằng là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a /b = .
- Như vậy có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọnđược nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)2 = 2.
- Từ (2) suy ra a2 / b2 = 2 và a2 = 2 b2.
- Khi đó a2 là số chẵn vì nó bằng 2 b2 (hiển nhiên là số chẵn)
- Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a2 là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).
- Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.
- Thay (6) vào (3) ta có: (2k)2 = 2b2 4k2 = 2b2 2k2 = b2.
- Vì 2k2 = b2 mà 2k2 là số chẵn nên b2 là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn (lí luận tương tự như (5).
- Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).
Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận là số vô tỉ.
Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."
tích mik nha
Giả sử \(\sqrt{10}\)là số hữu tỉ \(\Rightarrow\sqrt{10}=\frac{a}{b}\) ( vs \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản, \(a,b\in Z;b\ne0\))
Ta có \(\frac{a}{b}=\sqrt{10}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=10\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=10\Rightarrow a^2=10b^2\)
=> \(a^2\) là số chẵn ( vì 10 là số chẵn)
\(\Rightarrow a\) chẵn ( do căn bậc hai của 1 số chẵn là số chẵn) (1)
\(\Rightarrow a=2k\left(k\in Z\right)\)
Thay a = 2k vào \(a^2=10b^2\) ta có
\(\left(2k\right)^2=10b^2\)
\(\Rightarrow4k^2=10b^2\)
\(\Rightarrow2k^2=5b^2\)
\(\Rightarrow5b^2\) là số chẵn
\(\Rightarrow b^2\) là số chẵn
\(\Rightarrow b\) chẵn ( do do căn bậc hai của 1 số chẵn là số chẵn ) (2)
Từ (1) và (2) => Phân số \(\frac{a}{b}\) chưa tối giản vs giả thiết đưa ra
Vậy \(\sqrt{10}\) là số vô tỉ
Có j sai sót mong bỏ qua
~ HAPPY NEW YEAR ~
Giả sử căn a là một số hữu tỉ
=> \(\sqrt{a}=\dfrac{p}{q}\) , với (p,q)=1
=> \(a=\left(\dfrac{p}{q}\right)^2\)
=> \(a=\dfrac{p^2}{q^2}\)
=> \(a.q^2=p^2\)
=> a là số chính phương ( mâu thuẫn với đề bài a không là số chính phương)
do đó điều giả sử là sai
Vậy nếu a không là số chính phương thì căn n là số vô tỉ
Giả sử √a là số hữu tỉ .
Đặt √a=xy [x;y∈N,y≠0 và (x;y)=1]
⇒a=x2/y2⇒a⋅y2=x2
Vì x2 là 1 số chính phương nên a.y2 viết được dưới dạng tích của các số với lũy thừa bằng 2
Mà x; y nguyên tố cùng nhau nên a viết được dưới dạng lũy thừa bằng 2 => a là số chính phương (trái với giả thiết)
=> Giả thiết này sai
=>√a là 1 số vô tỉ
nếu bạn **** mình mình sẽ giải tận tình cho bạn