Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề thiếu nhé, a,b,c >0
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
\(M^2=\left(\sqrt{2a+5\sqrt{ab}+2b}+\sqrt{2b+5\sqrt{bc}+2c}+\sqrt{2c+5\sqrt{ca}+2a}\right)^2\)
\(\le3\left[4\left(a+b+c\right)+5\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\right]\)
\(\le3\left[4\left(a+b+c\right)+5\left(a+b+c\right)\right]=81\)
\(\Rightarrow M\le9\)
\(MaxM=9\Leftrightarrow a=b=c=1\)
(\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)}=a+b+c\left(Bunhiacopxki\right)\))
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-2=x\ge0\\b=y\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2y+4=\left(x+2\right)y\Rightarrow xy=4\)
\(P=\dfrac{\sqrt{x^2+2x}}{x+1}+\dfrac{\sqrt{y^2+2y}}{y+1}+\dfrac{1}{x+y+2}\)
\(P=\dfrac{\sqrt{2x\left(x+2\right)}}{\sqrt{2}\left(x+1\right)}+\dfrac{\sqrt{2y\left(y+2\right)}}{\sqrt{2}\left(y+1\right)}+\dfrac{1}{x+1+y+1}\)
\(P\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{3x+2}{x+1}+\dfrac{3y+2}{y+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(3-\dfrac{1}{x+1}+3-\dfrac{1}{y+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{x+y+2}{xy+x+y+1}=\dfrac{x+y+2}{x+y+5}=1-\dfrac{3}{x+y+5}\ge1-\dfrac{3}{2\sqrt{xy}+5}=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}.\dfrac{2}{3}=...\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\) hay \(\left(a;b\right)=\left(4;2\right)\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$P\leq \frac{ab}{2\sqrt{a^2b^2}}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ (thay vào điều kiện $2b\leq ab+4\Leftrightarrow a^2+4\geq 2a$- cũng luôn đúng)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$P^2\leq (1+2a+1+2b)(1+1)=4(a+b+1)$
Tiếp tục áp dụng Bunhiacopxky:
$(a+b)^2\leq (a^2+b^2)(1+1)=2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}$
$\Rightarrow P^2\leq 4(\sqrt{2}+1)$
$\Rightarrow P\leq 2\sqrt{\sqrt{2}+1}$
Vậy $P_{\max}=2\sqrt{\sqrt{2}+1}$. Giá trị này đạt tại $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$
cho hỏi a,b thuộc số nguyên không ?