K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
MH
25 tháng 4 2023
Đề thiếu nhé, a,b,c >0
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
\(M^2=\left(\sqrt{2a+5\sqrt{ab}+2b}+\sqrt{2b+5\sqrt{bc}+2c}+\sqrt{2c+5\sqrt{ca}+2a}\right)^2\)
\(\le3\left[4\left(a+b+c\right)+5\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\right]\)
\(\le3\left[4\left(a+b+c\right)+5\left(a+b+c\right)\right]=81\)
\(\Rightarrow M\le9\)
\(MaxM=9\Leftrightarrow a=b=c=1\)
(\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)}=a+b+c\left(Bunhiacopxki\right)\))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 4 2022
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-2=x\ge0\\b=y\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2y+4=\left(x+2\right)y\Rightarrow xy=4\)
\(P=\dfrac{\sqrt{x^2+2x}}{x+1}+\dfrac{\sqrt{y^2+2y}}{y+1}+\dfrac{1}{x+y+2}\)
\(P=\dfrac{\sqrt{2x\left(x+2\right)}}{\sqrt{2}\left(x+1\right)}+\dfrac{\sqrt{2y\left(y+2\right)}}{\sqrt{2}\left(y+1\right)}+\dfrac{1}{x+1+y+1}\)
\(P\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{3x+2}{x+1}+\dfrac{3y+2}{y+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(3-\dfrac{1}{x+1}+3-\dfrac{1}{y+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{x+y+2}{xy+x+y+1}=\dfrac{x+y+2}{x+y+5}=1-\dfrac{3}{x+y+5}\ge1-\dfrac{3}{2\sqrt{xy}+5}=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}.\dfrac{2}{3}=...\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\) hay \(\left(a;b\right)=\left(4;2\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 3 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$P\leq \frac{ab}{2\sqrt{a^2b^2}}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ (thay vào điều kiện $2b\leq ab+4\Leftrightarrow a^2+4\geq 2a$- cũng luôn đúng)
HN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 6 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$P^2\leq (1+2a+1+2b)(1+1)=4(a+b+1)$
Tiếp tục áp dụng Bunhiacopxky:
$(a+b)^2\leq (a^2+b^2)(1+1)=2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}$
$\Rightarrow P^2\leq 4(\sqrt{2}+1)$
$\Rightarrow P\leq 2\sqrt{\sqrt{2}+1}$
Vậy $P_{\max}=2\sqrt{\sqrt{2}+1}$. Giá trị này đạt tại $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$
cho hỏi a,b thuộc số nguyên không ?