K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
1 tháng 8 2020

\(P=3x^2+3z^2+10y^2+10t^2+8xy+8zt+4zx+2yz+2xt\)

\(P\le5x^2+5z^2+10y^2+10t^2+8xy+8zt+2yz+2xt\)

\(P\le10+5y^2+5t^2+8xy+8zt+2yz+2xt\)

\(\left\{{}\begin{matrix}8xy=\left(2+2\sqrt{5}\right)\left[2.x.\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}y\right]\le\left(2+2\sqrt{5}\right)\left[x^2+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)y^2\right]\\8zt\le\left(2+2\sqrt{5}\right)\left[z^2+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)t^2\right]\\2yz\le\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left[z^2+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)y^2\right]\\2xt\le\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x^2+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)t^2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\le10+\frac{5}{2}\left(\sqrt{5}+1\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\le15+5\sqrt{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x=z=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}\\y=t=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}\end{matrix}\right.\)

19 tháng 8 2017

ý sai đề rồi =))

x,y,z > 0. Tìm GTNN của

\(P=\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2+\dfrac{12}{\left(x+y\right)\sqrt{x+y}+1}+\dfrac{12}{\left(y+z\right)\sqrt{y+z}+1}\)

Các bạn giúp mk với ^^^^^^

NV
8 tháng 4 2022

\(\dfrac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}=\dfrac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

1 tháng 4 2019
https://i.imgur.com/XIq9aow.jpg
20 tháng 8 2023

Áp dụng BĐT Cauchy cho cặp số dương \(\dfrac{1}{\left(z+x\right)};\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\)

\(\dfrac{1}{\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\left(1\right)\)

Tương tự ta được

\(\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\le\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}\left(2\right)\)

\(\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\) ta được :

\(P=\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}+\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}+\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\)

\(\Rightarrow P\le2\left(x+y+z\right)=2.3=6\)

\(\Rightarrow GTLN\left(P\right)=6\left(tạix=y=z=1\right)\)

28 tháng 12 2017

Từ \(xyzt=1\) ta có: \(\dfrac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}=\dfrac{xyzt}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}=\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}\)

Đánh giá tương tự ta có:

\(pt\Leftrightarrow\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}+\dfrac{xzt}{y^2\left(xz+zt+tx\right)}+\dfrac{xyt}{z^2\left(xy+yt+tx\right)}+\dfrac{xyz}{t^2\left(xy+yz+zx\right)}\ge3\left(yzt+xzt+xyt+xyz\right)=3yzt+3xzt+3xyt+3xyz\)

Ta sẽ chứng minh:

\(\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}\ge3yzt\). Cộng theo vế rồi suy ra đpcm

T gần đi học r,có gì tối về giải full cho

29 tháng 12 2017

Áp dụng cauchy-schwarz:

\(VT=\sum\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)^2}{3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)}=VF\)