K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

21 tháng 10 2018

Áp dụng bđt Mincopxki:

\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(1+1+1\right)^2}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)

\(AM-GM:\left(x+y+z\right)^2+9\ge2\sqrt{9\left(x+y+z\right)^2}=6\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)

31 tháng 1 2020

Cách dùng C-S:

\(VT=\sum\limits_{cyc} \sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2 +3 +2\sum\limits_{cyc} \sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}}\)

\(\geq \sqrt{x^2 +y^2 +z^2 +3 +2\sum\limits_{cyc} (xy+1)}\)\(=\sqrt{\left(x+y+z-3\right)^2+6\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

8 tháng 11 2019

Áp dụng bất đẳng thức Mincopski

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)

Chứng minh rằng : \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2+9}{x+y+z}\ge6\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge6\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\left(đpcm\right)\)

Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)

Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

3 tháng 2 2020

Áp dụng bất đẳng thức Mincopski

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)

Chứng minh rằng : \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge6\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\left(đpcm\right)\)

Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)

Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

3 tháng 2 2020

Chị xem cách giải của em tại:

Câu hỏi của Nhã Doanh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

(https://h o c 2 4 .vn/hoi-dap/question/680384.html). Do không biết ad đã fix lỗi không gửi được link \(\text{H}\)(h.vn) nên em phải đính kèm link-_-

21 tháng 4 2017

Áp dụng bất đẳng thức Mincopski

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)

Chứng minh rằng \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y+z\right)^2+9}{x+y+z}\ge6\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\ge6\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\) ( đpcm )

Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)

\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

7 tháng 11 2015

Côsi: \(\sqrt{x\left(y+z\right)}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.2.\sqrt{2x}.\sqrt{y+z}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(2x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{2x+y+z}\)

Tương tự các cái kia.

\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{2}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+x+y}\right)\)

\(\ge2\sqrt{2}.\frac{9}{2x+y+z+2y+z+x+2z+x+y}=\frac{18\sqrt{2}}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{4}\)

7 tháng 11 2015

\(\sum\frac{1}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}=\sum\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2x}.\sqrt{y+z}}\ge\sum\frac{2\sqrt{2}}{2x+y+z}\ge2\sqrt{2}.\frac{9}{\sum\left(2x+y+z\right)}=\frac{18\sqrt{2}}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{4}\)

23 tháng 8 2017

chứng minh $\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(z+1)}+\sqrt{z(x+1)}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(x+1)(y+1)(z+1)}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

8 tháng 10 2017

Bài 2 : đã cm bên kia

Bài 1: :| 

we had điều này:

\(2=\frac{2014}{x}+\frac{2014}{y}+\frac{2014}{z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2014}{x}+\frac{y-2014}{y}+\frac{z-204}{z}=1\)

Xòng! bunyakovsky

P/s : Bệnh lười kinh niên tái phát nên ít khi ol sorry :<

NV
24 tháng 1 2022

\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)

\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)

\(=x+\sqrt{xyz}\)

Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)

\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)