K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

11 tháng 4 2017

\(\dfrac{x^2+y^2}{xy}=t;x,y>0\Rightarrow t\ge2\) khi x=y

\(A=t+\dfrac{1}{t}\ge2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\)

\(A-\dfrac{5}{2}=\left(t-2\right)+\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{2}\right)=\left(t-2\right)-\dfrac{\left(t-2\right)}{2t}=\dfrac{\left(2t-1\right)\left(t-2\right)}{2t}\)

\(t\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2t-1>0\\t-2\ge0\\2t>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{\left(2t-1\right)\left(t-2\right)}{2t}\ge0\) đẳng thức khi t=2

\(\Rightarrow A-\dfrac{5}{2}\ge0\Rightarrow A\ge\dfrac{5}{2}\)

Vậy GTNN (A) =5/2 khi x=y

11 tháng 4 2017

\(t+\dfrac{1}{t}=t+\dfrac{4}{t}-\dfrac{3}{t}\ge4-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}\)

31 tháng 5 2017

Ta có :

\(K=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)(1)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}\)( "=" khi a=b ) , ta có :

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}>=\frac{4}{x^2+2xy+y^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}>=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{1^2}=4\)    (2)  

Lại có : \(\left(x-y\right)^2>=0\) ("=" khi x=y )

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2>=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2>=2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy>=4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)

\(\Leftrightarrow1>=4xy\)

\(\Leftrightarrow2xy< =\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2xy}>=2\)  (3)

Từ (1) , (2) và (3) , suy ra :  \(K>=4+2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2xy\\x=y\\x+y=1\end{cases}}\)

                             \(\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

        Vậy Min\(K=6\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

10 tháng 5 2017

\(\dfrac{2}{xy}=\dfrac{4}{2xy}=\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{3}{2xy}\)

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy+4xy\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

Hay \(1\ge2xy.2\)

\(\Rightarrow2xy\le\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2\)

\(M=\dfrac{2}{xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}=\dfrac{4}{2xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{3}{2xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}\)

\(\ge2+3.\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosy

\(\ge2+3.\left(\dfrac{4}{2xy+x^2+y^2}\right)\)= 2 + 12 = 14

Vậy Min M =14 khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

NV
14 tháng 4 2022

\(A=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}=\dfrac{x^2+y^2}{2xy}+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\)

\(A\ge\dfrac{2xy}{2xy}+2\sqrt{\left(\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\right)\left(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\right)}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

\(B=\dfrac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy}+\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}+\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)^2}-4\)

\(B=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4xy}+\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}-4\)

\(B\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)^2.4xy}{4xy.\left(x+y\right)^2}}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{4xy}{xy}-4=1\)

\(B_{min}=1\) khi \(x=y\)

24 tháng 1 2017

tập xác định là gì

24 tháng 1 2017

mình cũng không biết, cô ghi sao mình ghi vậy

2/xy<=1/x^2+1/y^2=1/2

=>xy>=4

Dấu = xảy ra khi x=y=2

(x+y)^2>=4xy>=16

=>x+y>=4

Dấu = xảy ra khi x=y=2

=>x+y+xy+2023>=2023+4+4=2031 

Dấu = xảy ra khi x=y=2

30 tháng 5 2017

K=1/(x^2+y^2)+1/2xy+1/2xy

áp dụng BĐT cauchy schwarz ta có

1/(x^2+y^2)+1/2xy>=(1+1)^2/(x+y)^2=4 (1)

2xy<=(x+y)^2/2=1/2

=>1/2xy>=2 (2)

từ (1) và (2) => Min K=6 khi x=y=1/2