Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$
$P=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2-\frac{17}{6}$
$=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}-\frac{5}{6}$
$=(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2})+\frac{255}{256x^2y^2}-\frac{5}{6}$
$\geq 2\sqrt{\frac{1}{256}}+\frac{255}{256.\frac{1}{4^2}}-\frac{5}{6}=\frac{731}{48}$
Vậy $P_{\min}=\frac{731}{48}$ khi $x=y=\frac{1}{2}$
Lời giải:
Từ \(xy+x+y=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+1=x^2+xy+x+y=x(x+y)+(x+y)=(x+1)(x+y)\\ y^2+1=y^2+xy+x+y=y(x+y)+(x+y)=(y+1)(x+y)\end{matrix}\right.\)
Mà \(xy+x+y=1\Rightarrow x(y+1)+(y+1)=2\Rightarrow (x+1)(y+1)=2\)
Do đó:
\(x\sqrt{\frac{2(y^2+1)}{x^2+1}}+y\sqrt{\frac{2(x^2+1)}{y^2+1}}+\sqrt{\frac{(x^2+1)(y^2+1)}{2}}\)
\(=x\sqrt{\frac{(x+1)(y+1)(y+1)(x+y)}{(x+1)(x+y)}}+y\sqrt{\frac{(x+1)(y+1)(x+1)(x+y)}{(y+1)(x+y)}}+\sqrt{\frac{(x+1)(x+y)(y+1)(x+y)}{(x+1)(y+1)}}\)
\(=x\sqrt{(y+1)^2}+y\sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{(x+y)^2}\)
\(=x(y+1)+y(x+1)+x+y=2xy+2x+2y=2(xy+x+y)=2.1=2\)
Câu hỏi của Thiên Diệp - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
ta có \(\left(x-y\right)^2\le\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)cái này các bạn tự CM
\(\left(1-xy\right)^2\le\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2\left(1-xy\right)^2\le\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\left[\left(x-y\right)\left(1-xy\right)\right]\le\left[\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\right]\)cái dấu ngặc vuông là chỉ dấu giá trị tuyệt đối đấy mình ko biết đánh dấu giá trị tuyệt đối
\(\Rightarrow\left[\frac{\left(x-y\right)\left(1-xy\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\right]\le1\)
\(\Rightarrow-1\le\frac{\left(x-y\right)\left(1-xy\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\le1\)\(\Rightarrow-1\le A\le1\)
Lời giải:
Biến đổi:
\(H=\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{x^2y^2}=\frac{x^2y^2-(x^2+y^2)+1}{x^2y^2}\)
\(=\frac{x^2y^2-(x+y)^2+2xy+1}{x^2y^2}=\frac{x^2y^2+2xy}{x^2y^2}=1+\frac{2}{xy}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow H=1+\frac{2}{xy}\geq 9\)
Do đó \(H_{\min}=9\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
a: \(=\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{3xy}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}+\dfrac{x-y}{x^2+xy+y^2}\)
\(=\dfrac{x^2+xy+y^2-3xy+x^2-2xy+y^2}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}\)
\(=\dfrac{2x^2-4xy+2y^2}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}=\dfrac{2\left(x-y\right)}{x^2+xy+y^2}\)
d: \(=\dfrac{x^3-1}{x-1}-\dfrac{x^2-1}{x+1}\)
\(=x^2+x+1-x+1=x^2+2\)
d)
\(\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\dfrac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+.....+\dfrac{1}{\left(x+99\right)\left(x+100\right)}\)=\(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}+.....-\dfrac{1}{x+99}+\dfrac{1}{x+100}\)=\(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+100}\)
=\(\dfrac{x+100}{x\left(x+100\right)}-\dfrac{x}{x\left(x+100\right)}\)
=\(\dfrac{x+100-x}{x\left(x+100\right)}=\dfrac{100}{x\left(x+100\right)}\)
vào link này nhé
https://h.vn/hoi-dap/question/519160.html?pos=1454413
