Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta chứng minh bổ đề sau:
Với tam giác $ABC$ và $G$ là trọng tâm tam giác thì :
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
Thật vậy. Gọi giao điểm \(AG\cap BC=T\Rightarrow T\) là trung điểm của tam giác. \(\Rightarrow \overrightarrow{BT}+\overrightarrow{CT}=0\)
Theo tính chất đường trung tuyến:
\(\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{TG}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GT}=0\) \((1)\)
Mà \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GT}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BT}\\ \overrightarrow{GT}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CT}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{GT}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) \((2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)
Áp dụng CT trên vào bài toán thì: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\\ \overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}=0\end{matrix}\right.\)
Khi đó, từ \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'G'}\\ \overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'G'}\\ \overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'G'}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\)
Ta có đpcm.
Lời giải:
Bổ đề: Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
Chứng minh:
* Chiều thuận:
Kéo dài $AG$ cắt $BC$ tại $M$ thì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$
Ta có: \(\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM};\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}\)
\(\Rightarrow 2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)
Mà theo tính chất trọng tâm: \(-\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{GM}\)
\(\Rightarrow -\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
* Chiều đảo:
Gọi $M,N$ là trung điểm của $BC,AC$
Vì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}\) nên $G,A,M$ thẳng hàng.
Tương tự: $G,B,N$ thẳng hàng nên $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
Ta có đpcm.
----------------------------------------------
Áp dụng vào bài:
$G$ là trọng tâm của $ABC$ và $A'B'C'$
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA'}-\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB'}-\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC'}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)
Cách khác:
Gọi \(G,G'\)lần lượt là trọng tâm của \(\Delta ABC,\Delta A'B'C'\) ,ta có:
\(3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\)
\(3\overrightarrow{GG'}=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\right)\)
\(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\)
Để hai tam giác ABC và A'B'C' có trọng tâm trùng nhau \(\Rightarrow\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)(đpcm)
Đề: G trọng tâm tam giác ABC
và G' trọng tâm tam giác A'B'C'
Ta có: \(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'C'}\)
\(=3\overrightarrow{GG'}+\left(\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}\right)+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)\(=3\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{GG'}\left(đpcm\right)\)
Hai tam giác có cùng trọng tâm khi và chỉ khi \(G\equiv G'\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=0\)
\(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC'}\\ =\left(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\right)+\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)\\ =3\overrightarrow{GG'}-\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{GG'}-\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{GG'}\)
a) Ta có:
\(\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)\(=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\).
Vậy A là trung điểm của B'C'.
b)
Theo câu a ta chứng minh được A là trung điểm của B'C'.
Tương tự ta chứng minh được: B là trung điểm của A'C'; C là trung điểm của A'B'.
Từ đó suy ra ba đường thẳng AB', BB', CC' là ba đường trung tuyến của tam giác A'B'C' nên ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy.
\(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\right)=\overrightarrow{0}\)