Question

[Nguyễn Linh]

           Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB=2R   . Trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho . Vẽ các tiếp tuyếnAx, By ( cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ có chứa điểm ). Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt  lần lượt tại Ax.By lần lượt tại C và D   .

             1) Chứng minh tứ giác OBMD  là nội tiếp

             2) BC cắt đường tròn tại F ( F khác B). Đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt By tại E   . Chứng minh: EF là tiếp tuyến của đường tròn .

            3) Gọi K là giao điểm của OE và BC . Chứng minh: KO.KE= KF.KBvà đường trung trực của đoạn thẳng MK đi qua điểm .D

Answer 1

[Linh Linh]

a. xét tứ giác OBMD có

∠DBO=90 ( tiếp tuyến By)

∠OMD=90 (tiếp tuyến tại M)

⇒∠DBO+∠OMD=90+90=180

⇒tứ giác OBMD nội tiếp

b.ΔOBF cân tại O do OB=OF=R

⇒∠B₁=∠F₁ ⁽¹⁾

có ∠E₁=∠B₁ (cùng phụ ∠EOB) ⁽²⁾

từ (1);(2) ⇒∠F₁=∠E₁ (cùng nhìn OB)

⇒OFEB nội tiếp

⇒∠OFE=∠OBE=90

⇒EF⊥OF

⇒EF là tiếp tuyến của (O)

c. xét ΔKFO và ΔKEB có

∠FKO=∠EKB=90

∠E₁=∠F₁

⇒ΔKFO ∼ ΔKEB (g.g)

⇒\(\dfrac{KO}{KB}=\dfrac{KF}{KE}\)⇒KO.KE=KF.KB