Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
Bài 1a:
Ta thấy vế trái là số tự nhiên với mọi $x,y\in\mathbb{N}^*$. Do đó $\sqrt{9x^2+16x+32}\in\mathbb{N}^*$
Điều này xảy ra khi \(9x^2+16x+32\) là số chính phương.
Đặt \(9x^2+16x+32=t^2(t\in\mathbb{N}^*)\)
\(\Leftrightarrow 81x^2+144x+288=9t^2\)
\(\Leftrightarrow (9x+8)^2+224=(3t)^2\Leftrightarrow (3t-9x-8)(3t+9x+8)=224\)
Hiển nhiên $3t+9x+8>0; 3t+9x+8>3t-9x-8$ với mọi $x,t\in\mathbb{N}^*$ và $3t+9x+8; 3t-9x-8$ cùng tính chẵn lẻ.
Do đó \((3t+9x+8; 3t-9x-8)=(16;14); (28;8); (56;4); (112;2)\)
Thử các TH trên ta thu được $x=2$ là kết quả duy nhất thỏa mãn
Thay vào PT ban đầu suy ra $y=\frac{-7}{4}$ (vô lý)
Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn.
Bài 1b:
ĐKXĐ: \(x\geq \frac{-1}{3}\)
PT \(\Leftrightarrow 4x^3+5x^2+3x+1-\sqrt{3x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow 4x^3+5x^2+3x-\frac{3x}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(4x^2+5x+3-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}\right)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ 4x^2+5x+3-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}=0(*)\end{matrix}\right.\)
Xét $(*)$
\(\Leftrightarrow 4x^2+x+4x+1+2-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow x(4x+1)+(4x+1)+\frac{2\sqrt{3x+1}-1}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow (4x+1)(x+1)+\frac{3(4x+1)}{(\sqrt{3x+1}+1)(2\sqrt{3x+1}+1)}=0\)
\(\Leftrightarrow (4x+1)\left[(x+1)+\frac{3}{(\sqrt{3x+1}+1)(2\sqrt{3x+1}+1)}\right]=0\)
Với mọi $x\geq \frac{-1}{3}$ dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương. Do đó $4x+1=0\Rightarrow x=\frac{-1}{4}$ (thử lại thấy t/m)
Vậy \(x=0\) hoặc \(x=-\frac{1}{4}\)
Ta có:
\(4\le\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\le\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+1}{2}+\dfrac{b+1}{2}+1\)
\(=a+b+2\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\ge2\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=1\).
ĐKXĐ :\(b^2\le1\Rightarrow\left|b\right|\le1\Rightarrow\left|b\right|=1\) ???
Câu này bác net giải quyết luôn rồi.
Theo đề bài thì
\(\left|b\right|\ge1\)
Theo điều kiện xác định thì
\(1-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow b^2\le1\)
\(\Leftrightarrow\left|b\right|\le1\)
Từ đây suy ra được
\(\left|b\right|=1\)
Thế vô tìm được a.
PS: Đề bài kể cũng lạ. Còn câu hình tự làm nhé. Lười không làm đâu.
a, Với y >= 0
hpt có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=3\\x-y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=9\\y=x-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-3\end{matrix}\right.\)(ktmđk)
Với y < 0 hpt có dạng
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=3\\x-y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-3-6=-9\end{matrix}\right.\)(tm)
b, bạn tự làm
c, đk : x>= 3
\(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x+3}+\left|y-2\right|=2\\\sqrt{x+3}-3\left|y-2\right|=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x+3}+\left|y-2\right|=2\\2\sqrt{x+3}-6\left|y-2\right|=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7\left|y-2\right|=1\\2\sqrt{x+3}+\left|y-2\right|=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}y-2=\dfrac{1}{7}\\y-2=-\dfrac{1}{7}\end{matrix}\right.\\2\sqrt{x+3}+\left|y-2\right|=2\end{matrix}\right.\)
bạn tự giải nốt nhé
Bài 2:
a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x+y-3x-3y=5\\3x-3y+5x+5y=-2\end{matrix}\right.\)
=>-4x-2y=3 và 8x+2y=-2
=>x=1/4; y=-2
b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{y-1}=1\\\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{y-1}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=5\\\dfrac{1}{x-2}=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)
=>y=6 và x-2=5/4
=>x=13/4; y=6
c: =>x+y=24 và 3x+y=78
=>-2x=-54 và x+y=24
=>x=27; y=-3
d: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-1}-6\sqrt{y+2}=4\\2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2}=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-11\sqrt{y+2}=-11\\\sqrt{x-1}=2+3\cdot1=5\end{matrix}\right.\)
=>y+2=1 và x-1=25
=>x=26; y=-1
*Công thức: Biến đổi x theo y và ngc lại và dùng các quy tắc.
a)\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}x-\sqrt{3}y=1\\x+\sqrt{3}y=\sqrt{2}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng 2 pt ta đc: x=1
Thay vào (1):\(\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
Vậy (x;y)\(=\left(1;\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\)
Những câu sau làm ttự.
#Walker
ủa nhưng khi thay x,y vào phương trình đầu tiên thì kết quả không bằng 1 ?
• Vì a, b, c đều dương và a + b + c = 2
nên \(0< a,b,c< 2\)
• Theo gt, ta có:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=2-a\\\left(b+c\right)^2-2bc=2-a^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2-a\right)^2-2+a^2=2bc\)
\(\Rightarrow bc=\dfrac{\left(4-4a+a^2\right)-2+a^2}{2}=\dfrac{2a^2-4a+2}{2}=\left(a-1\right)^2\)
\(\Rightarrow b^2c^2=\left(a-1\right)^4\)
• Ta lại có: \(a\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}=a\sqrt{\dfrac{1+b^2+c^2+b^2c^2}{1+a^2}}\)
\(=a\sqrt{\dfrac{3-a^2+\left(a-1\right)^4}{1+a^2}}=a\sqrt{\dfrac{a^4-4a^3+5a^2-4a-4}{1+a^2}}\)
\(=a\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(a-2\right)^2}{1+a^2}}=a\left(2-a\right)\)
• Tương tự, ta cũng có: \(b\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}=b\left(2-b\right)\)
\(c\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+a^2\right)}{1+c^2}}=c\left(2-c\right)\)
• Suy ra \(a\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(a-2\right)^2}{1+a^2}}+b\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}+c\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+a^2\right)}{1+c^2}}\)
\(=2\left(a+b+c\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(đpcm\right)\)
